Implementieren eines einfachen Atommodells unter Verwendung der Dichtefunktionaltheorie (DFT)

Ich versuche, Computercode zu schreiben, der die Energie- und Dichtefunktion für ein Atom mit findet$Z$Protonen u$N$Elektronen. Ich arbeite der Einfachheit halber in 1D und möchte den Gesamtcode so einfach wie möglich gestalten (ich verwende auch Hartree-Einheiten). Ich verwende auch die Hartree-Näherung. Dies ist mein Gesamtalgorithmus:

1. Findet wasserstoffähnliche Wellenfunktionen (dh keine Elektronen-Wahl-Wechselwirkung)

2. Berechnet die Dichtefunktion über$n(z) = \sum_i \left | \phi_i(z) \right |^2$

3. Arbeitet das Hartree-Potenzial aus$V_H(r) = \int_0^\infty \frac{n(\vec{s})}{\left | \vec{r}-\vec{s} \right |} d\vec{s}$

4. Verwendet die Kohn-Sham-Gleichung, um neue individuelle Wellenfunktionen zu finden$\left (-\tfrac{1}{2}\bigtriangledown^2 + \frac{Z}{\left |r \right |} + V_H(\vec{r}) + V_{EX}(\vec{r}) \right )\phi_i = \varepsilon_i \phi_i$

5. Gehen Sie zurück zu Schritt 1. und wiederholen Sie den Vorgang.

Ich habe eine Reihe von Schwierigkeiten und wäre sehr dankbar für etwas Hilfe bei meinen Fragen.

Um das Hartree-Potential zu berechnen, muss ich es zunächst in ein 1D-Problem umwandeln, also nehmen wir eine gleichmäßige kugelförmige Ladungsverteilung an:

$V_H(r) = \int_0^\infty 4\pi s^2 \frac{ n(s)}{\left |r-s\right |} ds$

Dies explodiert jedoch wann$r = s$. Ich habe mich mit dem Gaußschen Gesetz befasst, hatte aber kein Glück.

Außerdem bin ich mir nicht sicher, wie ich den Austauschkorrelationsterm berechnen soll. Ich versuche eine Funktion zu finden, die ich einfach implementieren kann.

Jede Hilfe wäre großartig.