Impuls bei vollkommen elastischem Stoß

Question

Impuls bei vollkommen elastischem Stoß

Alma Alma

Ich implementiere dieses vereinfachte Modell gerade und versuche, die physikalischen Konzepte hinter diesem Modell zu verstehen.

Ereignisgesteuerte Simulation

Das Modell besteht also aus zwei Teilen, zuerst Kollisionsvorhersagen und dann Kollisionsauflösung.

Der Kollisionsauflösungsteil sagt Folgendes:

Wenn zwei Festplatten kollidieren, wirkt die Normalkraft entlang der Linie, die ihre Mittelpunkte verbindet (ohne Reibung oder Drehung). Der Impuls ( $J_x, J_y$ ) aufgrund der Normalkraft in x- und y-Richtung eines vollkommen elastischen Stoßes im Moment des Kontakts ist:
$J_{X} = \frac{J Δ R X}{σ}, J_{j} = \frac{J Δ j}{σ}$ $J_x = \frac{J\Delta rx}\sigma, ~~J_y = \frac{J\Delta y}\sigma$ Wo $J = \frac{2 M_{ich} M_{J} (Δ v \cdot Δ R)}{σ (M_{ich} + M_{J})}$ $J= \frac{2m_im_j(\Delta v\cdot \Delta r)}{\sigma(m_i + m_j)}$

und wo $m_i$ Und $m_j$ sind die Massen der Teilchen $i$ Und $j,$ Und $\sigma, \Delta x, \Delta y$ Und $\Delta v \cdot \Delta r$ sind wie oben definiert. Sobald wir den Impuls kennen, können wir das zweite Newtonsche Gesetz (in Impulsform) anwenden, um die Geschwindigkeiten unmittelbar nach der Kollision zu berechnen.

Kann mich jemand durch das Konzept hinter der oben angegebenen Impulsformel führen? Mich interessiert besonders, wie der Impuls zusammenhängt $\sigma?$ Ich habe versucht, online eine Erklärung zu finden, aber keines der Tutorials spricht explizit darüber $\sigma.$

Ich weiß, dass mein Wissen begrenzt ist (ich habe nie Kurse in Dynamik oder Kinetik belegt), aber wenn dies in Laiensprache erklärt werden kann, geben Sie mich bitte nicht auf. Ich würde mich auch freuen, wenn mich jemand auf eine Online-Erklärung außerhalb der Website hinweist.

Update, basierend auf der Antwort von @ user115350 habe ich Folgendes getan:

J_{X} = J \cos (θ) = J \frac{(Δ R X_{ich} + Δ R X_{J})}{σ_{ich} + σ_{J}}

$J_x = J \cos(\theta) = J \frac{(\Delta rx_i + \Delta rx_j)}{\sigma_i + \sigma_j}$ und ähnlich

J_{j} = J Sünde (θ) = J \frac{(Δ R j_{ich} + Δ R j_{J})}{σ_{ich} + σ_{J}}

$J_y = J \sin(\theta) = J \frac{(\Delta ry_i + \Delta ry_j)}{\sigma_i + \sigma_j}$

Basierend auf den von @lemon vorgeschlagenen Geschwindigkeitsgleichungen, die rückwärts arbeiten, bekomme ich Folgendes:

J_{X} = M_{ich} (v X_{ich}^{'} - v X_{ich})

$J_x = m_i(vx_i^\prime - vx_i)$

J_{X} = M_{J} (v X_{J}^{'} - v X_{J})

$J_x = m_j(vx_j^\prime - vx_j)$

J_{j} = M_{ich} (v j_{ich}^{'} - v j_{ich})

$J_y = m_i(vy_i^\prime - vy_i)$

J_{j} = M_{J} (v j_{J}^{'} - v j_{J})

$J_y = m_j(vy_j^\prime - vy_j)$

und dann das:

J = \frac{M_{ich} Δ v X_{ich} σ}{Δ R X_{ich} + Δ R X_{J}}

$J = \frac {m_i \Delta vx_i \sigma}{\Delta rx_i + \Delta rx_j}$

J = \frac{M_{J} Δ v X_{J} σ}{Δ R X_{ich} + Δ R X_{J}}

$J = \frac {m_j \Delta vx_j \sigma}{\Delta rx_i + \Delta rx_j}$

J = \frac{M_{ich} Δ v j_{ich} σ}{Δ R j_{ich} + Δ R j_{J}}

$J = \frac {m_i \Delta vy_i \sigma}{\Delta ry_i + \Delta ry_j}$

J = \frac{M_{J} Δ v j_{J} σ}{Δ R j_{ich} + Δ R j_{J}}

$J = \frac {m_j \Delta vy_j \sigma}{\Delta ry_i + \Delta ry_j}$

Wie kann ich von hier aus diese 4 Gleichungen kombinieren, um die ursprüngliche zusammengesetzte Formel von J zu erhalten?

Zitrone

Sie können von den folgenden Gleichungen (dh der Geschwindigkeitsintegration) aus rückwärts arbeiten. Eine allgemeinere Herleitung findet sich auch hier: Wiki: Collision response . Zur Beantwortung Ihrer konkreten Frage bzgl

σ

$\sigma$ : Beachten Sie, dass am Kollisionspunkt

σ

$\sigma$ ist der Abstand zwischen den beiden Teilchen, also

| Δ r | = σ

$|\Delta r|=\sigma$ . Mit anderen Worten, jeder Begriff des Formulars

Δ r / σ

$\Delta r/\sigma$ ist nur der Einheitsvektor , der die Teilchen verbindet. Also z.

Δ v \cdot Δ r / σ

$\Delta v\cdot\Delta r/\sigma$ ist die Relativgeschwindigkeit der Teilchen.

Alma Alma

@lemon Danke für die Antwort. Ich habe versucht, was Sie vorgeschlagen haben, und bin den Wikipedia-Artikel durchgegangen, aber immer noch nicht klar, wie ich J am Ende ableiten soll. Können Sie sich meine aktualisierte Frage ansehen?

transparentZ

euclideanspace.com/physics/dynamics/collision/oned/index.htm Dies kann nützlich sein. Ich verstehe auch nicht wirklich, wie man den Impuls berechnet.

Antworten (2)

Impuls bei vollkommen elastischem Stoß

Sie können von den folgenden Gleichungen (dh der Geschwindigkeitsintegration) aus rückwärts arbeiten. Eine allgemeinere Herleitung findet sich auch hier: Wiki: Collision response . Zur Beantwortung Ihrer konkreten Frage bzgl $\sigma$ : Beachten Sie, dass am Kollisionspunkt $\sigma$ ist der Abstand zwischen den beiden Teilchen, also $|\Delta r|=\sigma$ . Mit anderen Worten, jeder Begriff des Formulars $\Delta r/\sigma$ ist nur der Einheitsvektor , der die Teilchen verbindet. Also z. $\Delta v\cdot\Delta r/\sigma$ ist die Relativgeschwindigkeit der Teilchen.
@lemon Danke für die Antwort. Ich habe versucht, was Sie vorgeschlagen haben, und bin den Wikipedia-Artikel durchgegangen, aber immer noch nicht klar, wie ich J am Ende ableiten soll. Können Sie sich meine aktualisierte Frage ansehen?
euclideanspace.com/physics/dynamics/collision/oned/index.htm Dies kann nützlich sein. Ich verstehe auch nicht wirklich, wie man den Impuls berechnet.

Zitrone · Answer 1

Lassen Sie mich zur Vektornotation wechseln, wo $v_i$ ist die Geschwindigkeit (Vektor) des Balls $i$ vor dem Zusammenstoß und $v^\prime_i$ ist die Geschwindigkeit (Vektor) unmittelbar nach dem Stoß.

Wenn die Kollision auftritt, übertragen die beiden Kugeln einen gleichen, aber entgegengesetzten Impuls von großer Größe aufeinander $J$ . Die Geschwindigkeiten nach dem Zusammenstoß sind dann gegeben durch

\begin{aligned} (*) & v_{1}^{'} & = v_{1} - J M_{1}^{- 1} \hat{N} \\ (* *) & v_{2}^{'} & = v_{2} + J M_{2}^{- 1} \hat{N} \end{aligned}

$\begin{align} v_1^\prime&=v_1-Jm_1^{-1}\hat{n} \tag{$*$} \\ v_2^\prime&=v_2+Jm_2^{-1}\hat{n} \tag{$**$} \end{align}$

Wo $m_i$ ist der $i$ -te Messe und $\hat{n}$ ist der Einheitsvektor, der die Mittelpunkte der beiden Kugeln zum Zeitpunkt des Stoßes verbindet.

Wenn der Stoß elastisch ist, dann haben wir per Definition

(v_{2}^{'} - v_{1}^{'}) \cdot \hat{N} = - (v_{2} - v_{1}) \cdot \hat{N}

$(v_2^\prime-v_1^\prime)\cdot\hat{n}=-(v_2-v_1)\cdot\hat{n}$

Jetzt ersetzen Sie einfach Gleichungen $(*)$ Und $(**)$ in das Obige ein und ordnen Sie es neu an, und Sie erhalten die Gleichung für $J$ .

Danke @lemon! Physik macht Spaß! Obwohl ich nicht viel Talent habe, fand ich dieses Problem interessant.

Benutzer115350 · Answer 2

Impuls ist ein Vektor ( $\overrightarrow J= \overrightarrow F \triangle t$ ) und sein Absolutwert ist J. Somit hat er in diesem Fall zwei Komponenten und der Vektor kann geschrieben werden $(J_x,J_y)$ . Wo,

J_{X} = J \cdot \cos (θ) = J \cdot \frac{△ R X_{ich} + △ R X_{J}}{σ_{ich} + S ich G M A_{J}}

$J_x=J\cdot \cos(\theta)=J\cdot \frac{\triangle rx_i + \triangle rx_j}{\sigma_i+sigma_j}$

Und $J_y=J\cdot \sin(\theta)$ können ähnlich bezogen werden.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ist mein Verständnis richtig, dass, obwohl J ein Skalarwert ist, der Impuls selbst ein Vektor ist ( $\vec J$ )? Ich denke, das ist es, was meine Verwirrung verursacht. Ich habe in den Formeln nicht verstanden, wie es kommt, dass J ein aggregierter Wert ist, während er gleichzeitig zerlegt wird $J_x$ Und $J_y$ .
Meine nächste Frage ist also, wie Sie zwei Formeln kombinieren ( $J_x$ Und $J_y$ ), die in skalare Komponenten zurück in einen zusammengesetzten Wert (in diesem Fall J) zerlegt werden? Nehmen Sie einfach die Summe dieser beiden Komponenten und das war's?
Vielen Dank, Ihre Antwort hat sehr geholfen zu verstehen, wie dieses System modelliert wird.

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