Analyse der Kollision eines elastischen Körpers mit einer rauen Oberfläche

Ein elastischer Würfel, der reibungsfrei auf einem horizontalen Boden gleitet, trifft mit einer seiner Seiten parallel zur Wand auf eine vertikale Wand. Der Reibungskoeffizient zwischen der Wand und dem Würfel ist$\mu$. Der Winkel zwischen der Richtung der Geschwindigkeit$\mathbf{v}$des Würfels und der Wand ist$\alpha$. Wie groß wird dieser Winkel nach der Kollision sein (siehe Abbildung für eine Vogelperspektive der Kollision)?

Haftungsausschluss : Bevor dies als "hausaufgabenartig" bezeichnet wird, möchte ich klarstellen, dass ich nicht nur nach der Antwort suche. Ich hätte gerne Klarheit darüber, wie genau dieses Objekt während der Kollision mit der Oberfläche interagiert.

Ansatz : Angenommen, die Komponenten der Geschwindigkeit nach dem Stoß sind$v_{x}$Und$v_{y}$, im$-x$Und$+y$Richtungen. Die Reibungs- und Normalimpulse wirken mit$-x$Und$-y$Richtungen. Unter Berücksichtigung dessen können wir die Gleichungen für die Impulsänderung(en) schreiben:

Wir können die beiden Gleichungen dividieren, um zu erhalten:

Von hier an können Sie nun 2 Ansätze verfolgen:

1. Das Wort "elastischer Würfel" scheint auf eine elastische Kollision hinzudeuten, die ich anfangs so behandelt habe, dass die Gesamt-KE konstant ist, was bedeuten würde, dass die Geschwindigkeit nach der Kollision gleich ist, dh$v$, und wenn wir den gewünschten Winkel als bezeichnen$\theta$(mit der Vertikalen nach oben), dann können wir schreiben$v_{x}$Und$v_{y}$bezüglich$v$Und$\theta$, und löse auf$\theta$einfach, unter Verwendung grundlegender trigonometrischer Identitäten. Der Ausdruck kommt heraus$\theta= \alpha +2 \arctan(\mu)$.

2. Das Vorhandensein von Reibung stellt jedoch die Annahme eines konstanten KE in Frage. Ich habe versucht zu untersuchen, ob Reibung funktioniert oder nicht:

Der Würfel wird als elastisch bezeichnet . Elastizität bedeutet die Tendenz, seine Form wiederzuerlangen. Darauf aufbauend habe ich zunächst versucht zu begründen, dass sich zunächst die Oberfläche verformt, dann aber die ursprüngliche Form wiedererlangt. Ich dachte, dass dies die Netto-"Verschiebung" der Oberfläche impliziert$0$, also Reibung funktioniert nicht.

Allerdings ist auch diese Annahme falsch, wenn ich jetzt so darüber nachdenke. So funktionieren nichtkonservative Kräfte: Einen Ball auf einer rauen Oberfläche von Punkt A nach B und dann zurück nach A zu bringen, bedeutet nicht, dass das Reibungsnetz 0 ist. Reibung leistet bei beiden Fahrten negative Arbeit. Auch hier passiert etwas Ähnliches, nehme ich an. Außerdem glaube ich, dass sich die Grenze der Oberfläche auch vertikal bewegt (wenn auch geringfügig)?

Um den Winkel zu berechnen, benötigen wir das Verhältnis$v_x/v_y$. Das obige Argument legt nahe, dass es schwierig ist, explizit zu wissen, was$v_{y}$ist, daher müssen wir irgendwie den Wert von extrahieren$v_x/v_y$aus dieser Gleichung.

Nun muss es eine gewisse Bedeutung dafür geben, dass der Würfel elastisch ist . Bei den meisten Kollisionsproblemen der Newtonsche Restitutionskoeffizient$e$wird verwendet, um zu berücksichtigen, wie elastisch die Kollision ist. Und wenn die Kollision nicht frontal ist, geben viele Quellen die Gleichung an$e=1$(für elastische Stöße) wird entlang der Stoßlinie aufgebracht . In diesem Fall bedeutet dies$\dfrac{|v_{x,\text{after collision}}|}{|v_{x,\text{before collision}}|}=1$, dh$v_{x}=v\sin(\alpha)$. Damit können wir leicht nach dem gewünschten Verhältnis lösen. Wir bekommen:

Das Problem dabei ist jedoch meiner Meinung nach,$e=1$entlang der Wirkungslinie, ist kein unabhängiges Naturgesetz . Sie muss aus Energie- und Impulsbetrachtungen ableitbar sein, und genau das möchte ich in erster Linie wissen.

Wie können wir, rein unter Verwendung von Energie- und Impulsbetrachtungen und der Tatsache, dass der Würfel "elastisch" ist, folgern, dass die horizontale Geschwindigkeitsgröße dieselbe ist wie vor der Kollision?

Ich möchte nur wissen, was die "Elastizität" des Würfels in Bezug auf Energie und Impuls bedeutet. Alternativ möchte ich wissen, warum wir uns bewerben können$e=1$"nur entlang der Stoßlinie". Die Antwort darauf muss auf dem Wie beruhen$N$arbeitet während der Kollision.

Was auch immer diese Erklärung sein mag, impliziert darüber hinaus direkt, dass ein gewisser Energieverlust vorliegt, da sich die Antwort bei Ansatz 2 von Ansatz 1 unterscheidet (bei dem Energieeinsparung angenommen wurde). Was mich zu meiner zweiten Frage führt:

Was genau passiert bei der Kollision, die zum Energieverlust führt?

Zu Beginn von Ansatz 2 habe ich versucht, eine Art Theorie zu entwickeln, aber ich brauche eine Art Überprüfung, ob das die richtige Argumentation ist oder nicht.

Schließlich heißt es in der Antwort im Buch (abgesehen von dem in Ansatz 2 angegebenen Ausdruck), dass der Winkel sein wird$\pi /2$Wenn$\tan(\alpha)>1/2 \mu$.

Warum wird dies der Fall sein?

Es scheint, dass ich viele Fragen gestellt habe, aber meiner Meinung nach sind sie alle sehr eng miteinander verbunden, mit dem richtigen Verständnis dafür, wie der Würfel während der Kollision mit der Wand interagiert.