Welche Funktion hat der obere Punkt eines springenden Balls?

Ein Ball wird parallel zur x-Achse vom Punkt M(0,h) mit der Geschwindigkeit V weggeworfen. Nach jedem Sprung auf der x-Achse kann er die Hälfte der vorherigen Höhe erreichen, wie in der Abbildung gezeigt. (Angenommen, es gibt keine Luftreibung und der Ball ist sehr klein.)

Frage-$1$:

Finden Sie f(x), das von den oberen Punkten ausgeht?

Frage-$2$:

Ich habe nur eine Behauptung über das System, aber ich muss das beweisen, wenn wir den Ball von einem Punkt aus wegwerfen$f(x)$als parallel zur x-Achse mit der Geschwindigkeit von$V_{initial}=V\sqrt{\frac{f(x)}{h}}$, die maximalen Punkte des Balls werden auf demselben sein$f(x)$. Wie kann die Behauptung bewiesen oder widerlegt werden?

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Mein Versuch f(x) zu finden

$f(0)=h$

$f(x_1+x_2)=h/2$

$f(x_1+2x_2+x_3)=h/4$

$f(x_1+2x_2+2x_3+x_4)=h/8$.

.

.

$x_1=vt$

$mgh=\frac{1}{2}mV^2$

$h=\frac{1}{2}g t^2$

Nach dem ersten Aufprall, am ersten oberen Punkt: N$(x_1+x_2,h/2)$:

$mgh/2=\frac{1}{2}mV_1^2$

$V_1^2=V^2/2$

$V_1=\frac{V}{\sqrt{2}}$

$h/2=\frac{1}{2}g t_2^2$

$t_2^2=t^2/2$

$t_2=\frac{t}{\sqrt{2}}$

$f(x_1+x_2)=h/2$

$f(Vt+t_2\frac{V}{\sqrt{2}})=h/2$

$f(Vt+\frac{t}{\sqrt{2}}\frac{V}{\sqrt{2}})=h/2$

$f(Vt(1+1/2))=h/2$

Nach zweitem Hüpfen, Am zweiten obersten Punkt: O$(x1+2x2+x_3,h/4)$:

$mgh/4=\frac{1}{2}mV_2^2$

$V_2^2=V^2/4$

$V_2=\frac{V}{2}$

$h/4=\frac{1}{2}g t_3^2$

$t_3^2=t^2/4$

$t_3=\frac{t}{2}$

$f(x_1+2x_2+x_3)=h/4$

$f(Vt+Vt+V_3t_3)=h/4$

$f(Vt+Vt+Vt/4)=h/4$

$f(Vt(1+1+1/4))=h/4$

Am 3. obersten Punkt:

$f(Vt(1+1+1/2+1/8))=h/8$

Am 4. obersten Punkt:

$f(Vt(1+1+1/2+1/4+1/16))=h/16$.

.

Am n-ten obersten Punkt:$n--->\infty$

$f(3Vt)=0$

Wie kann ich finden$y=f(x)$

Danke für Antworten

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EDIT: habe ich gefunden$f(x)$. HerrBrody hat Recht. Die Funktion ist eine Linie.

mein Beweis: Zum n-ten obersten Punkt:

$f(Vt.a(n))=h/2^n$

$a(0)=1$

$a(1)=1+1/2=1+1-1/2$

$a(2)=1+1+1/4=1+1+1/2-1/4$

$a(3)=1+1+1/2+1/8=1+1+1/2+1/4-1/8$

$a(4)=1+1+1/2+1/4+1/16=1+1+1/2+1/4+1/8-1/16$.

.

$a(n)=1+1+1/2+1/4+....1/2^{n-1}-1/2^{n}$

$a(n)=1+\frac{1-(1/2)^{n})}{1-1/2}-1/2^{n}=1+2(1-(1/2)^{n})-1/2^{n}=3-\frac{3}{2^n}$

Am n-ten obersten Punkt:

$$f(Vt[3-\frac{3}{2^n}])=\frac{h}{2^n}$$

Wo$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

$Vt[3-\frac{3}{2^n}]=x$

$3-\frac{3}{2^n}=\frac{x}{Vt}$

$1-\frac{1}{2^n}=\frac{x}{3Vt}$

$1-\frac{x}{3Vt}=\frac{1}{2^n}$

$$f(x)=\frac{h}{2^n}=h(1-\frac{x}{3Vt})=h(1-\frac{x}{3V\sqrt{\frac{2h}{g}}})$$

Jetzt versuche ich, meine Behauptung in der zweiten Frage zu beweisen oder zu widerlegen. Wenn ich die Lösung finde poste ich sie.