In welchem ​​Bereich der Mathematik lerne ich Pfadintegrale?

Um die genaue mathematische Formulierung von Pfadintegralen zu studieren, braucht man eigentlich probabilistische Werkzeuge. Das Pfadintegral ist ein stochastisches Integral mit geeigneten Maßen, wie z. B. dem Wiener-Maß, das der Brownschen Bewegung zugeordnet ist.

Die von Physikern verwendeten Ideen sind sehr nützlich, aber nicht immer mathematisch genau, und beruhen mehr oder weniger auf der Rechtfertigung durch Annäherung dieser stochastischen Integrale.

Es hängt also wirklich vom Zweck ab, sie zu studieren. Wenn Sie vorhaben, sie wie ein Physiker zu verwenden (oder nur um ihre physikalische Bedeutung zu verstehen), ist nicht viel mathematischer Hintergrund erforderlich, abgesehen von grundlegenden Kenntnissen der Quantenmechanik (und der Trotter-Formel) und dem Prinzip der kleinsten Wirkung der klassischen Mechanik (a etwas Variationsrechnung, wie schon erwähnt).

Aber wenn Sie an einer strengeren Studie interessiert sind, die vielleicht an der mathematischen Physik orientiert ist, müssen Sie wirklich stochastische Prozesse und Wahrscheinlichkeiten verstehen.

Ich empfehle zwei Ressourcen:

Feynmans Originalbuch mit dem Titel Quantum Mechanics and Path Integrals. Dies enthält die meisten Voraussetzungen in den ersten beiden Kapiteln, aber Sie benötigen eine gewisse Reife, um sie zu meistern.

A. Zees Quantenfeldtheorie-Buch Quantum Field Theory in a Nutshell für sein freundliches Kapitel über sie.

1. Quantenmechanik und Pfadintegrale: Dies ist ein Buch, das jeder Physiker oder Physikstudent studieren sollte. Hier beschreibt der Autor das Wirkprinzip der Quantenphysik. Es ist kein Minimumwirkungsprinzip wie in der klassischen Mechanik: Sie können jedoch das klassische Minimumprinzip daraus ableiten, im klassischen Limes. Warum ist das wichtig? Nun, die berühmten Eichfeldtheorien konnten nur unter diesem Formalismus quantisiert werden. Feynman formuliert mit seiner Technik natürlich alles neu, sodass das Buch sehr aufschlussreich ist: Es ist eine reiche Erfahrung, altbekannte Dinge aus einem anderen Blickwinkel zu sehen. Aber es gibt auch viele neue Dinge. Die Anwendungen sind brillant und decken so ziemlich alles ab: Elektrodynamik, statistische Mechanik, was auch immer. Eine neue Mathematik wird von Feynman eingeführt, eine Integrationstheorie in einem Raum, dessen Elemente Kurven (Wegintegrale) sind. Soweit ich weiß, existiert die strenge Theorie dieser Integration noch nicht. Feynman ist unerschrocken in der Lage, uns zu sehr wichtigen Ergebnissen zu führen, indem er intuitive Methoden verwendet und die Gültigkeit eines Ergebnisses überprüft, indem er es beispielsweise auf zwei verschiedene Arten erhält. Verpassen Sie übrigens nicht seine Diskussion über die Rolle der Strenge (im mathematischen Sinne) in der Physik. Dazu gibt es eine Rubrik! seine Diskussion über die Rolle der Strenge (im mathematischen Sinne) in der Physik. Dazu gibt es eine Rubrik! seine Diskussion über die Rolle der Strenge (im mathematischen Sinne) in der Physik. Dazu gibt es eine Rubrik!
2. Pfadintegrale in der Quantenmechanik : Das Hauptziel dieses Buches ist es, den Leser mit einem Werkzeug, dem Pfadintegral, vertraut zu machen, das nicht nur einen alternativen Blickwinkel auf die Quantenmechanik bietet, sondern vor allem auch in verallgemeinerter Form geworden ist der Schlüssel zu einem tieferen Verständnis der Quantenfeldtheorie und ihrer Anwendungen, die von der Teilchenphysik bis hin zu Phasenübergängen oder Eigenschaften von Quantengasen reichen.
3. Mathematische Feynman-Pfadintegrale und ihre Anwendungen : Dieser Band enthält eine detaillierte, in sich geschlossene Beschreibung der mathematischen Schwierigkeiten sowie der möglichen Techniken, die zur Lösung dieser Schwierigkeiten verwendet werden. Insbesondere gibt es einen vollständigen Überblick über die mathematische Realisierung von Feynman-Pfadintegralen in Form wohldefinierter funktionaler Integrale, dh der unendlichdimensionalen oszillierenden Integrale. Es enthält die traditionellen Ergebnisse zum Thema sowie die neueren Entwicklungen des Autors. Mathematische Feynman-Pfad-Integrale und ihre Anwendungen richtet sich sowohl an Mathematiker als auch an Physiker, Doktoranden und Forscher, die sich für das Problem der mathematischen Grundlagen von Feynman-Pfad-Integralen interessieren
4. Pfadintegrale und ihre Anwendungen in der Quantenstatistik und Festkörperphysik : Dieses Buch wendet Pfadintegrale auf die statistische Physik und die Festkörperphysik an.
5. Pfadintegrale für stochastische Prozesse - Eine Einführung: Das Ziel dieses Buches ist es, eine kurze, aber vollständige Darstellung des pfadintegralen Ansatzes für stochastische Prozesse zu bieten. Es könnte als fortgeschrittenes Lehrbuch für Doktoranden und sogar ambitionierte Physikstudenten verwendet werden. Es beschreibt, wie diese Techniken sowohl für Markov- als auch für Nicht-Markov-Prozesse angewendet werden. Die Pfadentwicklung (oder semiklassische Approximation) wird diskutiert und an den stochastischen Kontext angepasst. Außerdem werden einige Beispiele für nichtlineare Transformationen und einige Anwendungen sowie Beispiele für eher ungewöhnliche Anwendungen diskutiert. Eine umfangreiche Bibliographie ist enthalten. Das Buch ist detailliert genug, um das Interesse des neugierigen Lesers zu wecken, und vollständig genug, um einen soliden Hintergrund zu bieten, um die Forschungsliteratur zu erkunden und das gelernte Material in realen Situationen zu nutzen.
6. Pfadintegrierte Methoden und ihre Anwendungen : Dieses Buch stellt die wichtigsten Entwicklungen auf diesem Gebiet vor, wobei der Schwerpunkt auf der Anwendung von Pfadintegrationsmethoden in verschiedenen Bereichen liegt. Nach einer Einführung in das Konzept der Pfadintegrale werden verwandte Themen wie Random Walk, Brownsche Bewegung und Wiener-Integrale behandelt. Es wurden mehrere Techniken der Pfadintegration vorgestellt, darunter globale und lokale Zeittransformationen, numerische Methoden sowie Näherungsverfahren. Das Buch versucht, einen angemessenen Überblick über einige der neuesten exakten Ergebnisse und Näherungsschemata für praktische Anwendungen zu geben.
7. Mathematische Theorie der Feynman-Pfadintegrale : (Von der Rückseite) Feynman-Pfadintegrale, heuristisch von Feynman in den 40er Jahren vorgeschlagen, sind zur Grundlage eines Großteils der zeitgenössischen Physik geworden, von der nicht-relativistischen Quantenmechanik bis zu Quantenfeldern, einschließlich Eichfeldern, Gravitation , Kosmologie. Neuerdings spielen Ideen, die auf Feynman-Wegintegralen basieren, auch eine wichtige Rolle in Bereichen der Mathematik wie niedrigdimensionale Topologie und Differentialgeometrie, algebraische Geometrie, unendlichdimensionale Analysis und Geometrie sowie Zahlentheorie.

Feynmans Wegintegral-Formulierung ist eng mit dem Wirkprinzip der klassischen Mechanik verwandt, das sich stark auf die Variationsrechnung stützt. Sie müssen im Wesentlichen lernen, wie man eine funktionale . Voraussetzungen sind so ziemlich nur Kalkül (hoffentlich multivariabel) sowie einige klassische Mechaniken, um die Motivation hinter dem Aktionsprinzip zu verstehen.