Induktionsgleichung in einem rotierenden Rahmen

Ich glaube, ich habe die Antwort gefunden, es war ein bisschen knifflig, also poste ich sie - Mit der Identität des Vektorkalküls können wir mit dem Erweitern beginnen$\frac{\partial B}{\partial t}$:

$\frac{\partial B}{\partial t}$=$\nabla \times (u' \times B) +\nabla \times ((\Omega \times r)\times B$)

Hier müssen wir verwenden$\nabla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)=\mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)-\mathbf{B}\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}-\left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B}$

So dass$\nabla$X (($\Omega$X$r$)X$B$) =$(\Omega \times r)(\nabla \cdot B)-B(\nabla \cdot (\Omega \times r))+(B \cdot \nabla)(\Omega \times r)-((\Omega \times r) \cdot \nabla)(B)$

Mit der Tatsache, dass$\nabla \cdot B=0$Und$\nabla \cdot (\Omega \times r)=0$Die beiden ersten Terme sind gleich Null

Ein weiterer sehr nützlicher Vektortrick ist:$(B \cdot \nabla)(\Omega \times r)=\Omega \times (B \cdot \nabla)r = \Omega \times B$

Uns bleibt:$\frac{\partial B}{\partial t}$=$\nabla$X ($u' \times B) +\Omega \times B -((\Omega \times r) \cdot \nabla)(B)$

Hier$\frac{\partial B}{\partial t}$im statischen Rahmen aufgenommen wird, müssen wir das in den rotierenden Rahmen umwandeln:$\frac{\partial B}{\partial t}|_{static}= \frac{DB}{Dt}|_{static} - u_\Omega \cdot \nabla(B)$

Advektion zu berücksichtigen, da die Geschwindigkeit des Feldes mit dem Rahmen ist$u_\Omega=(\Omega \times r)$

$\frac{DB}{Dt}|_{static}=\frac{DB}{Dt}|_{rotating}+\Omega \times B$

Aber$\frac{DB}{Dt}|_{rotating}$ist identisch mit$\frac{\partial B}{\partial t}|_{rotating}$da bewegt sich der rahmen mit$u_{\Omega}$bereits.

Alles zusammen ergibt:$\nabla \times (u' \times B) +\Omega \times B -((\Omega \times r) \cdot \nabla)(B)=\frac{\partial B}{\partial t}|_{rotating} + \Omega \times B - ((\Omega \times r) \cdot \nabla)(B)$

Nach der Vereinfachung -$\frac{\partial B}{\partial t}|_{rotating}=\nabla \times (u' \times B)$....

Jetzt gibt es wahrscheinlich ein physikalisches Argument, das mir alle Probleme ersparen kann, aber ich musste es wirklich mathematisch sehen. Ich denke, was wirklich schwierig war, war die Verwendung der Gesamtableitung, um die Formel verwenden zu können, die die Ableitungen in den verschiedenen Rahmen in Beziehung setzt (/!\ diese Beziehung gilt nicht für partielle Ableitungen).

Überprüfen Sie diesen Link für weitere Informationen: http://physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/rotatingEM.pdf