Integrieren von Druck über eine Fläche

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Integrieren von Druck über eine Fläche

Benutzer56658

Betrachten Sie das 2D-Profil unten.

_{(Quelle: gsu.edu )}

In der Technik (und vielleicht auch in der Physik) werden Sie oft so etwas wie das Folgende als Ausdruck für die auf eine Oberfläche wirkende Druckkraft sehen (in diesem Fall eine Kurve, aber stellen Sie sich vor, sie hätte eine Einheitstiefe in den Bildschirm).

D F = P D S Wo D S = \hat{N} D S

$\mathrm{d} \mathbf{F} = p \, \mathrm{d} \mathbf{s} \\ \text{where} \, \mathrm{d} \mathbf{s} = \mathbf{\hat{n}} \, \mathrm{d} s$

Wenn Sie versuchen, dies über eine Kurve C zu integrieren, um die erhaltene Kraft zu finden;

\int_{?}^{?} D F = \int_{C} P D S

$\int_?^? \mathrm{d} \mathbf{F} = \int_C p \, \mathrm{d} \mathbf{s}$

wo es keine offensichtlichen entsprechenden Grenzen für die Integration auf der linken Seite zu geben scheint. Ist es in Ordnung, die Grenzen von 0 bis zu berücksichtigen? $\mathbf{F}$ oder ist dies eine Art technischer "Kurzschrift", die Sie oft sehen und die mathematisch keinen Sinn ergibt. Ich versuche, es als "Kraftänderung" zu interpretieren, aber es ergibt für mich keinen Sinn.

Antworten (2)

Integrieren von Druck über eine Fläche

Floris · Answer 1

Sie summieren "kleine Kräfte" über "alle Punkte auf der Oberfläche".

Das ist das Tückische an Integralen – sie sind nicht immer schöne eindimensionale Konstrukte mit Grenzwerten in den Einheiten der dargestellten Größe $dx$ .

Das integrale Symbol ist eigentlich ein sehr stilisierter Buchstabe S: Sobald Sie das erkennen, sehen Sie, dass Sie "etwas summieren" und die Grenzen nur den Bereich beschreiben, über den die Summierung erfolgt.

In Ihrem Beispiel ist die "Region" die Oberfläche der Tragfläche; und Sie können keine "sauberen" numerischen Grenzen angeben, es sei denn, Sie finden eine Möglichkeit, die Position auf der Folie so zu parametrisieren, dass Sie eine Trennung der Variablen erhalten. Aber für den Integrationsgedanken spielt das keine Rolle...

Hinweis zur Trennung der Variablen: Wenn Sie ein Rechteck parallel zu X und Y haben, können Sie jeden Teil der Oberfläche mit x-, y-Koordinaten und Fläche als dx dydx dy beschreiben. Dann werden die Grenzen

\int_{X_{1}}^{X_{2}} \int_{j_{1}}^{j_{2}} \vec{F} (X, j) \cdot \vec{N} D X D j

$\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}\vec{F}(x,y)\cdot \vec n ~dx ~dy$

Ich weiß nicht, ob das die Dinge klarer gemacht hat oder dich nur mehr verwirrt hat. Kommentare...

Können Sie erklären, was Sie mit der Trennung von Variablen meinen?
Ich denke, der Weg, dies zu tun, wäre vielleicht eine Definition $\mathbf{F}$ als Funktion der Länge (oder vielleicht einer anderen Parametrisierung) der Kurve, über die Sie integrieren, ausgehend von einem beliebigen Punkt (der derselbe Punkt wäre, an dem die Parametrisierung der Kurve beginnt). Wenn es am Anfangspunkt 0 ist, dann $\mathrm{d} \mathbf{F}$ würde eine Änderung der Kraft darstellen, wenn Sie entlang der Kurve gehen. Dies auf eine Oberfläche auszudehnen ist jedoch etwas kniffliger.
@ user56658 Alles, was passiert, dauert $dF/ds = p$ und "Multiplizieren" der $ds$ auf die andere Seite und dann integrieren. Das ist die Trennung von Variablen und in diesem Fall ein kompletter "Trick". Sie brauchen auf der linken Seite keine Begrenzungen – die Gesamtkraft kommt von der Integration $p$ über die Oberfläche.
Trennung von Variablen: Wenn Sie ein Rechteck parallel zu X und Y haben, können Sie jeden Teil der Oberfläche mit X-, Y-Koordinaten und Fläche als beschreiben $dx\ dy$ . Dann werden die Grenzen $\int_{x1}^{x2}\int_{y1}^{y2}\vec F(x,y)\cdot \vec n\ dx\ dy$
@Floris: Es wäre schön, wenn Sie den letzten Kommentar in eine Bearbeitung der Antwort umwandeln würden.

jai · Answer 2

jai

Grenzen können Rumpf bis zur Spitze der Flügel sein :) !! Wie einige Benutzer erwähnt haben, ist es insgesamt nur eine Kraft, kein Grund zur Sorge über die Grenzen der Integration. Wenn man es als Linie nimmt, ergibt die Summe aller Linien die Fläche und natürlich die Kraft. Wenn zum Beispiel xxxx Newton Kraft in einer einzelnen Linie und deren Summierung über den abgetasteten Bereich (jede Probe wird als dicke Linie betrachtet) ergibt sich die Gesamtkraft. Wenn die Abtastrate zunimmt (Abtastdicke ---> 0), wird der Fehler verringert. Integration beseitigt diese Komplexität, aber es hängt von der maßgeblichen Gleichung ab. Mache ich es komplizierter :(

Kyle Kanos

Die Antwort lautet also

\int_{f u s e}^{w i n g} d F

$\int_{fuse}^{wing}{\rm d}\mathbf{F}$ ? Wie soll das gehen? Genauer gesagt, was sind

F_{f u s e}

$\mathbf{F}_{fuse}$ Und

F_{w i n g}

$\mathbf{F}_{wing}$ ? Sollte es nicht wirklich nur die totale Kraft sein,

F

$\mathbf{F}$ ?

jai

Tut mir leid. Ich wollte damit sagen, dass dieses Integrationsergebnis eine Kraft über den Flügel ist. Tut mir leid, wenn ich falsch verstanden habe und kläre mich auf. Was ich dachte, um die maßgebliche Gleichung der Druckänderung über die Flügelfläche zu integrieren, ergibt die Gesamtkraft auf den Flügel. Ich bin nur ein Absolvent :(

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