Intuitive Erklärung der Rotationsträgheit in Bezug auf den Drehimpuls

Wir verallgemeinern das Ergebnis aus der zweiten Antwort, die Sie verlinkt haben:

$$\vec{L}=\sum_i \left(\vec{r}'+\vec{{r}_i}' \right)\times \vec{p_i}=\vec{r}' \times \sum_i \vec{p_i}+\sum_i \vec{{r}_i}'\times\vec{p_i}=\vec{r}' \times \sum_i \vec{p_i}+\vec L'$$

Jetzt$\vec{r}'$ein willkürlicher Vektor ist, nicht nur der Vektor zum Massenmittelpunkt. Wenn sich also das System bewegt und die Summe über die Impulse nicht Null ist, hängt der Drehimpuls von der Wahl des Ursprungs des Koordinatensystems ab. Wenn$\sum \vec p_i$Null ist, dann haben wir auf der anderen Seite

$$\vec L = \vec L'.$$

Die Intuition dahinter ist folgende: Angenommen, Sie haben eines dieser Spielzeuge, bei denen Sie ein Ding mit einem Magneten so ausbalancieren können, dass es sich frei bewegt (google "Levitron"). Dann drehst du das frei bewegliche Objekt. Da es sich nur dreht und nicht bewegt, ist die Summe der Impulse Null. Aus Ihrer Sicht kalkulieren Sie dann$\vec L$.

Jetzt bewegst du deinen Stuhl einen Meter nach links ($\vec r_i = \vec r_i' + \vec r'$) und rechnen$\vec L'$. Wenn

$$\vec L \neq \vec L'$$ dann würde dies bedeuten, dass ein Drehmoment auf das Objekt ausgeübt wurde. Aber Sie haben das Objekt nicht berührt, Sie haben nur das Bezugssystem verschoben. Deshalb $\vec L=\vec L'$für ruhende Systeme: Sonst würden Sie ein Drehmoment aufbringen, indem Sie einfach den Ursprung des Bezugssystems ändern.

Bearbeiten (Trägheitsteil):

Ich denke, es wäre hilfreich zu beachten, dass das Trägheitsmoment per Definition immer in dem Rahmen definiert ist, in dem der Massenschwerpunkt ruht, sodass der Ursprung des körperfesten Koordinatensystems der Massenschwerpunkt ist. Es ist also sozusagen eine „Eigenschaft des Körpers“.

Der Parallelachsensatz wird benötigt, wenn der Ursprung des körperfesten Rahmens aus welchen Gründen auch immer nicht im Massenmittelpunkt, sondern an einem anderen Punkt liegt. Mit dem Parallelachsensatz kann man dann das Trägheitsmoment um den Massenmittelpunkt berechnen:

$$I′=I+md^2$$ , daraus kannst du rechnen $I$.

Intuitiv wird die Bewegung eines starren Körpers aufgeteilt in Translation des Massenzentrums und Rotation um das Massenzentrum. Die diesen beiden Bewegungen innewohnende Trägheit sind die Masse und das Massenträgheitsmoment.

Einen Körper um einen beliebigen anderen Punkt außerhalb des Massenmittelpunkts zu drehen, bedeutet, dass sich der Massenmittelpunkt zusätzlich zur Drehung verschieben muss. Dies bedeutet, dass das effektive Massenträgheitsmoment um jeden anderen Punkt den Effekt der linearen Bewegung des Massenschwerpunkts beinhalten muss. Dies erhöht den Wert des MMOI, wenn wir uns unter Verwendung des Parallelachsensatzes vom Massenmittelpunkt entfernen.

In der Welt des Impulses ist der Eigenimpuls eines starren Körpers das Vektorpaar

$$\vec{P} = m \vec{v}_{cm} \\ \vec{L}_{cm} = I_{cm} \vec{\omega}$$

Dreht sich der Schwerpunkt um einen anderen Punkt, dreht sich die Massenbewegung

$$\vec{v}_{cm} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$ _{Hier$\vec{r}$stellt die Position des Massenmittelpunkts relativ zum Rotationszentrum dar.}

Der lineare Impuls ist dann definiert als

$$\vec{P} = -m \vec{r} \times \vec{\omega}$$

Der Drehimpuls um den Drehpunkt muss den linearen Impuls des Massenmittelpunkts umschließen

$$\vec{L} = \vec{L}_{cm} + \vec{r} \times \vec{P}$$ $$\vec{L} = I_{cm} \vec{\omega} - m \vec{r}\times \vec{r}\times \vec{\omega}$$ $$\vec{L} = \left(I_{C}+m\|\vec{r}\|^{2}\mathrm{1}_{3\text{×}3}\right)\vec{\omega}$$

_{Das obige betrachtet$\vec{r}\cdot\vec{\omega}=0$da Drehungen um Punkte parallel zur Drehachse das Problem nicht ändern. Daher der Name der parallelen Achse}

Dies ist eine Form des Parallelachsensatzes, der uns den Drehimpuls um das Rotationszentrum gibt