Intuitive Logik hinter diesem schönen Ergebnis von aufeinander folgenden Kollisionen zweier Körper

Die Gleichung, die die Position jedes einzelnen Blocks angibt, ist

$$x=x_0 + v_0 t + a t^2$$

mit$a$, die Beschleunigung, abhängig von der Reibung. Der Abstand zwischen den Blöcken ist gegeben durch$\Delta x=x_A - x_B$. Wenn Sie einen Ausdruck für aufschreiben$\Delta x$, werden Sie feststellen, dass es die gleiche Form wie die Gleichung für hat$x$, aber mit unterschiedlichen Werten für die Konstanten. Dies sagt Ihnen, dass sich der Abstand zwischen den Blöcken wie die Position eines einzelnen Blocks verhält, solange sich die Blöcke nicht berühren.

Dann müssen wir sehen, was passiert, wenn die Blöcke kollidieren. Da sie die gleiche Masse haben, nimmt Block A nach der Kollision die Geschwindigkeit an, die Block B hatte und umgekehrt. Der Geschwindigkeitsunterschied$\Delta v = \frac{d\Delta x}{dt}=v_A-v_B$kehrt bei Kollision sein Vorzeichen um. Dies passiert auch mit der Geschwindigkeit eines einzelnen Blocks, wenn er von einer festen Wand abprallt.

Daher verhält sich der Abstand zwischen den beiden Blöcken genau wie die Position eines einzelnen Blocks. So wie du es schon berechnet hast.

Die wichtigsten Erkenntnisse sind:

1. Da die Blöcke die gleiche Masse haben und elastisch kollidieren, ändern sich ihre Geschwindigkeiten bei jedem Stoß.

2. Beide Blöcke bewegen sich immer die Steigung hinunter. Der nachlaufende Block bewegt sich niemals die Steigung hinauf.

3. Richtung und Größe der Reibungskraft sind für jeden Block konstant, ebenso wie die Gewichtskomponente. Zwischen den Kollisionen bewegt sich also jeder Block mit konstanter Beschleunigung die Steigung hinunter, mit jeweils unterschiedlicher Geschwindigkeit.

4. Zwischen den Kollisionen legen die beiden Blöcke in der gleichen Zeit die gleiche Strecke zurück und haben daher die gleiche Durchschnittsgeschwindigkeit.

Die Bewegungen der Blöcke können in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm dargestellt werden:

Die vertikalen grauen Linien stellen die Zeiten aufeinanderfolgender Kollisionen dar. Dazwischen sind die Flächen unterhalb der Graphen für A (rot) und B (blau) gleich groß. Dieser Bereich ist die Strecke, die zwischen Kollisionen zurückgelegt wird.

Die Blöcke beginnen mit der gleichen (null) Geschwindigkeit. Die Zeit bis zur 1. Kollision beträgt$T$. Die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Kollisionen ist$2T$. Der Graph wiederholt sich mit einem konstanten Zeitintervall von$2T$, nach Seitwärts- und Aufwärtsverschiebung. Diese Transformation vergrößert die Fläche unter jedem Diagramm jedes Mal um denselben Betrag.

Das Diagramm zeigt, dass die Zeit zwischen Kollisionen konstant ist und dass die Abstände zwischen Kollisionen jedes Mal um einen konstanten Betrag zunehmen. Ab dem Startpunkt liegen die Zeiten der Kollisionen bei$T, 3T, 5T, 7T$usw.

Die grüne Linie stellt die Bewegung des Massenschwerpunkts dar, der mit den beiden Blöcken an den Kollisionspunkten zusammenfällt. Es bewegt sich mit dem Durchschnitt$a$der beiden Beschleunigungen, die konstant ist:

$$a=g[\sin\theta-\frac12(\mu_A+\mu_B)\cos\theta]$$ vorausgesetzt, dass $\tan\theta>\mu_B>\mu_A$. Der Graph bewegt sich um nach oben $2Ta$zwischen Kollisionen, so dass sich der Abstand zwischen Kollisionen um vergrößert $4T^2a$jedes Mal.

Gemäß dem Galilei-Gesetz sind die Entfernungen, die in aufeinanderfolgenden Intervallen gleicher Dauer zurückgelegt werden, arithmetisch fortschreitend .

$T$bezieht sich auf$d$, die Differenz der Entfernungen, die jeder Block vom Start bis zur 1. Kollision zurückgelegt hat, um

$$d = \frac12(a_A-a_B)T^2 = \frac12(\mu_B-\mu_A)gT^2\cos\theta$$