Intuitives Verständnis des Lagrange-Punktes L3

Die Sache mit den Lagrange-Punkten ist, dass es immer zwei Sichtweisen auf das System gibt.

Methode 1: Der Trägheitsrahmen. Positionieren Sie sich "über" dem Sonnensystem und schauen Sie auf die Objekte, die sich in Ellipsen bewegen. Hier ist die Schwerkraft die einzige Kraft. Die Erde prallt nicht gegen die Sonne, weil die konstante Einwärtsbeschleunigung ihre Bahn lediglich in eine Ellipse biegt. Das heißt, wenn Sie sowohl seine Beschleunigung als auch seine Geschwindigkeit berücksichtigen , kombinieren sich die beiden, um ihn umkreisen zu lassen, anstatt direkt radial zu fallen. In ähnlicher Weise sind die Lagrange-Punkte sich bewegende Punkte, so dass ihre Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen auf ihnen zu Umlaufbahnen führen. Denken Sie daran, dass bei gleichen Winkelgeschwindigkeiten Punkte, die weiter vom Schwerpunkt entfernt sind, größere lineare Tangentialgeschwindigkeiten haben und L3 weiter vom Schwerpunkt entfernt ist als die Erde, wenn sie sich auf dieser Seite der Sonne befindet.

Methode 2: Der sich bewegende Rahmen. Fangen Sie jetzt an, Ihre Kamera so zu drehen, dass sie die Bewegung der Erde verfolgt. Sie sind an einem Punkt direkt über dem Schwerpunkt des Systems verankert. Unter Vernachlässigung der Exzentrizität erscheinen die Erde und die Sonne in diesem Rahmen in Ruhe. Die Schwerkraft zieht sie immer noch direkt aufeinander zu, aber in diesem nicht trägen Rahmen gibt es eine Zentrifugalkraft, die die Schwerkraft genau ausgleicht. In ähnlicher Weise wird an jedem der 5 Lagrange-Punkte die kombinierte Schwerkraft von Erde und Sonne auf dem Punkt durch die Zentrifugalkraft ausgeglichen, die dieser Punkt erfährt. Am mittleren Lagrange-Punkt sind die beiden Gravitationseffekte entgegengesetzt, und es gibt nicht viel Zentrifugalkraft. An den beiden äußeren Punkten wirken die beiden Gravitationseffekte zusammen; Diese Punkte sind jedoch weiter vom Baryzentrum entfernt und erfahren daher eine größere Zentrifugalkraft.

Alles klappt am Ende. Der Fehler besteht entweder darin, die Tangentialgeschwindigkeit im ersten Rahmen zu vernachlässigen oder die Zentrifugalkraft im zweiten Rahmen zu vernachlässigen.

Ein Objekt bei L ₃ umkreist die Sonne durch genau die gleichen Mechanismen wie die Erde: Es spürt die Anziehungskraft der Sonne, und das ist genau die Zentripetalkraft, die es braucht, um eine gleichmäßige Kreisbewegung um die Sonne auszuführen.

Das kleine Problem ist, wie Sie betonen, dass es auch mit der Schwerkraft der Erde zu kämpfen hat, die es bei L ₃ auch in Richtung Sonne zieht. Aus diesem Grund befindet sich L ₃ etwas außerhalb der Erdumlaufbahn, was beide Gravitationskräfte so weit verringert, dass sie der Anziehungskraft der Sonne auf die Erde entsprechen.

Es ist nicht schwer, dafür zu rechnen. Angenommen, L ₃ ist ein Radius$r$vom Baryzentrum, mit der Erde im Radius$R$. Die Sonne umkreist daher das Baryzentrum im Radius$(m/M)R$, Wo$m/M$ist das Verhältnis der Masse der Erde zur Sonne; In der Praxis befindet sich das Baryzentrum weit innerhalb der Sonne. Die Frage nach der Gravitationsbeschleunigung bei L ₃ , um mit der der Erde übereinzustimmen, lautet dann wie

$$\frac{M}{(r-\tfrac mM R)^2}+\frac{m}{(r+R)^2}=\frac{M}{(R+\tfrac mM R)^2}.$$ Dies kann gelöst werden $r$aber es ist sehr chaotisch. Eine Sache, die Sie stattdessen tun können, ist, diese Gleichung in Bezug auf zu linearisieren $m/M$Und $(r-R)/R$, in der Erwartung, dass diese für das Erde-Sonne-System klein sind. Dadurch ergibt sich ein Wert von

$$r\approx\left(1+\frac{17}{8}\frac mM\right)R,$$

das ist in der Tat etwas größer als$R$, um etwa das Doppelte$m/M$, was für das Erde-Sonne-System nur etwa 6 Teile in 10 ⁶ beträgt .