Invarianz, Kovarianz und Symmetrie

Die Definitionen dieser Begriffe sind etwas kontextabhängig. Im Allgemeinen bezieht sich Invarianz in der Physik jedoch darauf, wenn eine bestimmte Größe bei einer Transformation von Dingen, aus denen sie aufgebaut ist, gleich bleibt, während sich Kovarianz darauf bezieht, wenn Gleichungen "die gleiche Form behalten", nachdem die Objekte in den Gleichungen transformiert wurden irgendwie.

Im Kontext der Feldtheorie kann man diese Begriffe wie folgt präzisieren. Betrachten Sie eine Feldtheorie$\phi$. Lassen Sie eine Transformation$T$

$$\phi \to\phi_T$$ auf Felder gegeben werden. Lassen Sie eine funktionale $F[\phi]$der Felder angegeben werden (betrachten Sie zum Beispiel die Aktion funktional). Das Funktional soll invariant unter der Transformation sein $T$der bereitgestellten Felder $$F[\phi_T] = F[\phi]$$ für alle Felder $\phi$. Andererseits sollen die Bewegungsgleichungen der Theorie bezüglich der Transformation kovariant sein $T$bereitgestellt, wenn die Felder $\phi$die Gleichungen erfüllen, dann auch die Felder $\phi_T$; die Form der Gleichungen bleibt dabei gleich $T$.

Zum Beispiel die Aktion eines einzelnen reellen Klein-Gordon-Skalars$\phi$ist Lorentz-invariant, was bedeutet, dass es sich unter der Transformation nicht ändert

$$\phi(x)\to\phi_\Lambda(x) = \phi(\Lambda^{-1}x),$$ und die Bewegungsgleichungen der Theorie sind Lorentz-kovariant in dem Sinne, dass wenn $\phi$die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt, dann auch $\phi_\Lambda$.

Außerdem könnte ich mir vorstellen, dass Sie dies hilfreich finden würden.

Es hilft, sich daran zu erinnern, dass invariante Größen als Skalare der Transformation angesehen werden (sie haben keine Indizes im Zielraum). Andererseits sind kovariante Größen Objekte, die sich auf eine bestimmte Weise transformieren.

Beispiel: Vektoren in$R^{2}$, unter Drehung$R_{ij}$, transformiere kovariant seit$v'_{i}=R_{ij}v_{j}$, aber seine Länge ist seitdem unveränderlich$|v'|^{2}=v'_{a}v'_{a}=R_{am}v_{m}R_{an}v_{n}=v_{m}R^{t}_{ma}R_{an}v_{n}=v_{m} \delta_{mn} v_{n}=v_{n}v_{n}=|v|^{2}$. Dies bedeutet, dass sich das zweite Newtonsche Gesetz unter Drehungen kovariant transformiert und die Größe der Kraft invariant ist.