Inwiefern kann eine komplexe Zahl ein Skalar sein?

Ein Skalar ist eine einkomponentige Größe, die unter Drehungen des Koordinatensystems unveränderlich ist

OK, aber was meinst du dann mit "Rotation"?

Sehen Sie, ein Skalar im Sinne Ihres Zitats ist nicht nur "ein Skalar", Punkt. Sie können einen Skalar nur in Bezug auf eine bestimmte Rotationsoperation haben. Dieselbe Größe kann in Bezug auf eine Rotationsart ein Skalar und in Bezug auf eine andere ein Vektor oder Tensor sein.

Es stimmt, dass es eine Rotationsgruppe gibt (a$U(1)$Gruppe), die auf der komplexen Ebene wirkt und eine komplexe Zahl in eine andere umwandelt. Aber das ist nicht die Art von Rotationsgruppen, die Physiker verwenden. Wir verwenden Drehungen, die physikalische Richtungen ineinander umkehren (die traditionellen$SO(3)$Drehung), oder die Weltlinienrichtungen ineinander umwandeln (die Lorentz-Gruppe), oder die Spinzustände ineinander umwandeln (beliebige$SU(2)$Spin-Gruppe) oder Farbzustände (die$SU(3)$in QCD verwendete Gruppe) oder so weiter. Keine dieser Rotationen wirkt sich auf eine einfache alte komplexe Zahl aus, da einer einfachen alten komplexen Zahl keine physikalische Bedeutung zugeordnet ist, die dazu führen würde, dass sie sich bei einer physikalischen Rotationsoperation ändert.

Dies hat Auswirkungen auf das, was als "Komponente" gilt. Wie user2357112 in den Kommentaren erwähnt, hängt es vom Kontext ab: Sie können beispielsweise eine komplexe Zahl als Zweikomponentenvektor behandeln, oder Sie könnten einen Vektor mit komplexen Koeffizienten haben (wie in der Quantenmechanik), in diesem Fall jede komplexe Zahl ist nur eine Komponente. Tatsächlich gibt es sogar Situationen, in denen eine ganze Matrix eine Komponente sein kann, wie z. B. der Pauli-Vektor .

Der Punkt ist, dass Sie nicht davon ausgehen sollten, dass eine Komponente eine reelle Zahl oder sogar irgendeine Art von Zahl sein muss. Es ist wahrscheinlich sinnvoller, eine Komponente in Bezug auf Rotationen zu definieren (da in der Mathematik die gesamte Idee der Komponenten aus Vektorräumen stammt, können wir in der Physik genauso gut analog vorgehen). Ich werde hier keine strenge Definition vorschlagen, aber eine vernünftige würde die Idee erfassen, dass Komponenten eines Vektors bei einer Drehung untereinander "abwägen", und wenn ein mathematisches Objekt nicht von einem bestimmten beeinflusst wird Rotation, dann verdient das gesamte Objekt (ob Zahl, Vektor, Tensor, was auch immer) es, in Bezug auf diese Rotation als eine Komponente (und damit als Skalar) betrachtet zu werden.

Obwohl dies irgendwie trivial ist, kann eine komplexe Zahl als Mitglied eines Feldes ein Skalar sein, der durch kommutative Multiplikation auf einen Vektorraum wirkt , wobei letzterer durch Skalierung die grundlegende Manifestation des Begriffs der Linearität ist . Weitere Einzelheiten finden Sie in der Definition eines Vektorraums .

Komplexe Zahlen werden normalerweise als "zweikomponentige vektorähnliche Größe" visualisiert. Dies ist jedoch nur ein Visualisierungswerkzeug, und die realen + imaginären Achsen der Argand-Ebene entsprechen keinen physikalischen Richtungen. Komplexe Zahlen ändern sich nicht unter$SO(3)$Rotationen des Raums oder Lorentz-Boosts, weshalb sie Skalare sind.

Wenn Sie der Meinung sind, dass komplexe Zahlen grundsätzlich mit Punkten auf einer 2-D-Oberfläche verknüpft sind, interessiert Sie vielleicht ihre Geschichte. Viele wichtige Sätze über komplexe Zahlen wurden im 18. Jahrhundert entwickelt, darunter die Formel von de Moivre und die Formel von Euler. All dies basierte auf der algebraischen Definition$i^2 = -1$, ohne jegliche geometrische Identifikation/Visualisierung komplexer Zahlen als Punkte in einer komplexen Ebene. Erst im 19. Jahrhundert wurde das komplexe Flugzeug als Konzept geboren.

Um die Antwort von WetSavannaAnimal ein wenig zu verstärken, definiert ein Mathematiker einen Vektorraum (locker) als eine Reihe von Dingen, die sich wie kleine Pfeile verhalten, wenn sie addiert oder mit einem Skalar (auch bekannt als Zahl) multipliziert werden. Es müssen keine kleinen Pfeile sein. ZB Die Menge aller Funktionen$y = ax^2 + bx + c$ist ein 3D-Vektorraum.

Ein n-dimensionaler Vektor kann immer durch n Zahlen dargestellt werden, was einem Punkt in einem n-dimensionalen physikalischen Raum oder einem kleinen Pfeil vom Ursprung zu diesem Punkt entspricht. In diesem Sinne kann ein Vektor durch Betrag und Richtung beschrieben werden.

Für die bekanntesten Vektorräume sind die Zahlen reell. Sie können aber auch komplex sein. ZB könnten die obigen Funktionen über der komplexen Ebene definiert werden. Es wäre immer noch ein 3D-Vektorraum. Wenngleich$a$,$b$, und$c$wären komplexe Zahlen, es gibt 3 davon.

Dies dehnt die Idee eines Pfeils in einem physischen Raum ein wenig aus. Aber das gilt auch für einen 4D- oder 17D-Vektor. Der Punkt ist, dass ein Skalar die Zahl ist, die einen Vektor multiplizieren kann, ohne seine Richtung zu ändern.

Für einen Physiker muss ein Vektor eine andere Eigenschaft haben. Es muss eine physikalisch sinnvolle Größe haben, die sich nicht ändert, wenn Sie das Koordinatensystem drehen. Für einen Physiker ist Kraft ein Vektor, ein Punkt in einem thermodynamischen Phasenraum jedoch nicht. Für einen Physiker ist die 4D-Raumzeit ein Vektorraum, in dem die Größe das Intervall und die Koordinatendrehungen Boosts sind.

Physiker sind in diesem Punkt etwas schlampig. Für einen Mathematiker wird die Idee der Größe durch die Definition einer Norm erfasst. Für einen Mathematiker ist die 4D-Raumzeit kein normierter Vektorraum, weil eine Norm niemals negativ sein darf.

Um auf den Punkt zurückzukommen, eine zweite Bedeutung von Skalar ist ein physikalisch sinnvoller Wert, der unter Koordinatenrotationen unveränderlich ist. Der Betrag eines Vektors ist ein Skalar. Ebenso sind Größen von Tensoren höheren Ranges Skalare.

In diesem Sinne sind Skalare normalerweise reelle Zahlen. Die Quantenmechanik hat komplexwertige Wellenfunktionen. Aber die physikalisch sinnvollen Größen sind real.

Was Sie zitiert haben, ist eine Definition eines "Skalars" in einem physikalischen / mathematischen Kontext.

Der Begriff „Skalar“ kommt vom lateinischen Wort scala und bedeutet Leiter; und die Multiplikation einer Vektorgröße mit einem Skalar hat den Effekt, dass ihre Größe skaliert wird, ohne ihre Ausrichtung zu beeinflussen. Daher der Name „Skalar“. Aber im Laufe der Jahre wurde „Skalar“ von Mathematikern allmählich verfälscht, um sich sogar auf komplexe Größen zu beziehen, die eine andere abstrakte mathematische Größe durch Multiplikation „skalieren“. Trotz der Tatsache, dass die Multiplikation eines Vektors mit einer komplexen Größe ursprünglich den Effekt hatte, einen Vektor sowohl zu skalieren als auch zu drehen!

Eine komplexe Zahl kann also heute ein Skalar sein, wenn sie verwendet wird, um eine andere mathematische abstrakte Größe über die unäre Operation, die wir Multiplikation nennen, zu „skalieren“. Aber auf eine Weise, die ursprünglich nicht durch die Definition eines "Skalars" beabsichtigt war.