Tensor vs. Tensordichten

Question

Tensor vs. Tensordichten

Bittermanie

Momentan lese ich Sean Carrolls Spacetime and Geometry: an Introduction to General Relativity . Laut Carroll das Symbol

D X^{0} \land D X^{1} \land \dots \land D X^{N - 1},

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1},$

obwohl es wie ein aussieht $n$ -Form, ist kein Tensor, sondern eine Tensordichte. Ich bin jedoch verwirrt darüber, wie dies der Fall sein kann, da dieses Symbol nach meinem Verständnis per Definition ein antisymmetrischer Tensor ist. Um dies zu verstehen, habe ich den Fall von zwei Dimensionen ausgearbeitet:

D X^{1} \land D X^{2} = D X^{1} \otimes D X^{2} - D X^{2} \otimes D X^{1} .

$dx^1 \wedge dx^2 = dx^1 \otimes dx^2 - dx^2 \otimes dx^1.$

Wenn ich das nehme und es in Koordinaten umwandle $y^1$ Und $y^2$ , Ich finde, dass

D X^{1} \otimes D X^{2} - D X^{2} \otimes D X^{1}

$dx^1 \otimes dx^2 - dx^2 \otimes dx^1$

\to (\frac{\partial X^{1}}{\partial j^{1}} D j^{1} + \frac{\partial X^{1}}{\partial j^{2}} D j^{2}) \otimes (\frac{\partial X^{2}}{\partial j^{1}} D j^{1} + \frac{\partial X^{2}}{\partial j^{2}} D j^{2}) - (\frac{\partial X^{2}}{\partial j^{1}} D j^{1} + \frac{\partial X^{2}}{\partial j^{2}} D j^{2}) \otimes (\frac{\partial X^{1}}{\partial j^{1}} D j^{1} + \frac{\partial X^{1}}{\partial j^{2}} D j^{2})

$\rightarrow (\frac{\partial x^1}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^1}{\partial y^2} dy^2) \otimes (\frac{\partial x^2}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^2}{\partial y^2} dy^2) - (\frac{\partial x^2}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^2}{\partial y^2} dy^2) \otimes (\frac{\partial x^1}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^1}{\partial y^2} dy^2)$

= (\frac{\partial X^{1}}{\partial j^{1}} \frac{\partial X^{2}}{\partial j^{2}} - \frac{\partial X^{1}}{\partial j^{2}} \frac{\partial X^{2}}{\partial j^{1}}) D j^{1} \otimes D j^{2} - (\frac{\partial X^{1}}{\partial j^{1}} \frac{\partial X^{2}}{\partial j^{2}} - \frac{\partial X^{1}}{\partial j^{2}} \frac{\partial X^{2}}{\partial j^{1}}) D j^{2} \otimes D j^{1} .

$= (\frac{\partial x^1}{\partial y^1}\frac{\partial x^2}{\partial y^2} - \frac{\partial x^1}{\partial y^2}\frac{\partial x^2}{\partial y^1}) dy^1 \otimes dy^2 - (\frac{\partial x^1}{\partial y^1}\frac{\partial x^2}{\partial y^2} - \frac{\partial x^1}{\partial y^2}\frac{\partial x^2}{\partial y^1}) dy^2 \otimes dy^1.$

Ich sehe, dass es eine Determinante des Jacobischen der Koordinatenänderung gibt, die für eine Tensordichte charakteristisch ist, aber ich sehe nicht, wie dies impliziert, dass die 2-Form eigentlich kein Tensor, sondern eher eine Tensordichte ist. Kann mir jemand helfen, das in Einklang zu bringen?

Antworten (3)

Tensor vs. Tensordichten

Erik Jörgenfelt · Answer 1

Zunächst einmal: Lassen Sie mich Sie auf diese Antwort verweisen. Es ist keine Antwort auf Ihre Frage, sondern nur um sicherzustellen, dass wir uns auf derselben Seite befinden. Dann beachte das

D X^{0} \land D X^{1} \land \dots \land D X^{N - 1} = ϵ_{{ich}_{1} {ich}_{2} \dots {ich}_{N}} D X^{{ich}_{1}} D X^{{ich}_{2}} \dots D X^{{ich}_{N}},

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1} = \epsilon_{i_1i_2\ldots i_n}dx^{i_1}dx^{i_2}\cdots dx^{i_n},$ Wo

ϵ

$\epsilon$ bezeichnet das Levi-Civita-Symbol. Da Sie die Transformation des Levi-Civita-Symbols kennen, haben Sie dies im Wesentlichen in zwei Dimensionen gezeigt, die auf das erweitert wurden

n

$n$ -dimensionaler Fall (alternativ können Sie sich die Antwort von @mas ansehen, um einen expliziten Beweis für diese Tatsache zu erhalten). Tensoren können so definiert werden, dass sie z. B. gehorchen

T_{{ich}_{1} {ich}_{2} \dots {ich}_{N}} = Λ_{{ich}_{1}}^{J_{1}} Λ_{{ich}_{2}}^{J_{2}} \dots Λ_{{ich}_{N}}^{J_{N}} T_{J_{1} J_{2} \dots J_{N}},

$T_{i_1i_2\ldots i_n} = \Lambda^{j_1}_{i_1}\Lambda^{j_2}_{i_2}\cdots\Lambda^{j_n}_{i_n} T_{j_1j_2\ldots j_n},$ für einige Frame-Transformation

Λ

$\Lambda$ , was deutlich machen sollte, dass Carrolls Aussage richtig ist, wenn man das Symbol als gleichwertig mit dem Levi-Civita-Symbol betrachtet. Allerdings, wenn Sie bedenken

d x^{0} \land d x^{1} \land \dots \land d x^{n - 1}

$dx^0\wedge dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}$ ein ... sein

n

$n$ -Form gibt es keinen Grund zu erwarten, dass die transformierte Menge sein sollte

d y^{0} \land d y^{1} \land \dots \land d y^{n - 1}

$dy^0\wedge dy^1\wedge\cdots\wedge dy^{n-1}$ . Ich denke, der einfachste Weg, dies zu erklären, ist zu bemerken, dass wir das Levi-Civita-Symbol umschreiben können als

ϵ_{{ich}_{1} {ich}_{2} \dots {ich}_{N}} = N! δ_{[{ich}_{1}}^{0} δ_{{ich}_{2}}^{1} \dots δ_{{ich}_{N}]}^{N - 1},

$\epsilon_{i_1i_2\ldots i_n} = n!\delta^0_{[i_1}\delta^1_{i_2}\cdots\delta^{n-1}_{i_n]},$ Wo

[i_{1} i_{2} \dots i_{n}]

$[i_1i_2\ldots i_n]$ bezeichnet die Antisymmetrisierung über die Indizes. Somit können wir sehen, dass die Levi-Civita-Symbolkomponenten eine Antisymmetrisierung von Kroenecker-Deltas verbergen, und zu Veranschaulichungszwecken können wir stattdessen die 1-Form betrachten, die lokal durch die Komponenten definiert ist

δ_{i}^{0}

$\delta^0_i$ , dh

d x^{0}

$dx^0$ .

Der Punkt hier ist das $\Lambda^i_j\delta^0_i = \Lambda^0_j \neq \delta_j^0$ , was wirklich bedeutet, dass wir die Komponenten, an denen befestigt werden soll, nicht berücksichtigen können $\delta^0_i$ in jedem Rahmen: die 1-Form $dx^0$ ist nicht gleichbedeutend mit dem Symbol $dx^0$ ; es ist nur für einen sehr eingeschränkten Satz von Koordinaten das $dx^0 = dy^0$ , nämlich diejenigen, wo $x^0 = y^0 + C$ , für einige konstant $C$ ; dh $x^0$ ist nur $y^0$ unter irgendeiner Übersetzung. Entsprechend

D X^{0} \land D X^{1} \land \dots \land D X^{N - 1} = D j^{0} \land D j^{1} \land \dots \land D j^{N - 1},

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1} = dy^0 \wedge dy^1 \wedge \cdots \wedge dy^{n-1},$ genau dann, wenn die Koordinatentransformation eine Jacobi-Determinante der Einheit hat.

Ich denke, Carroll möchte den Leser davor warnen, aber für mich scheint es ein verwirrender Weg, dies zu tun. Obwohl ich das Buch zugegebenermaßen nicht gelesen habe.

Lassen Sie mich mein Verständnis anhand eines Beispiels testen. Angenommen, ich habe ein Objekt $D$ was ich definiere, indem ich sage, dass es in allen Koordinaten die Form annimmt $dx^1 \wedge dx^2$ . Zum Beispiel im $y$ Koordinaten nimmt es die Form an $dy^1 \wedge dy^2$ , und in $z$ Koordinaten nimmt es die Form an $dz^1 \wedge dz^2$ . $D$ ist natürlich kein Tensor, aber es "sieht immer noch aus wie" eine 2-Form. Warnt Carroll davor, dieses Objekt als Tensor zu betrachten?
@bittermania Soweit ich das beurteilen kann, ja. Alternativ lässt er Sie wissen, wie sich ein Objekt, das in einigen Koordinaten so aussieht, bei einer Änderung der Koordinaten verändert.
@ErikJörgenfelt äh... was ist der Unterschied zwischen der einen Form $dx^0$ und das Symbol $dx^0$ ? Ich kenne keine Bedeutung für $dx^0$ außer der einen Form dual to $\partial_0$ oder äquivalent das Differential/die äußere Ableitung der Koordinatenfunktion $x_0$ .

Masse · Answer 2

Da sowohl das Keilprodukt als auch das Levi-Civita-Symbol vollständig antisymmetrisch sind, können wir umschreiben $dx^0 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^{n-1}$ als

\begin{matrix} (1) & D X^{0} \land D X^{1} \land . . . \land D X^{N - 1} = \frac{1}{N!} {\tilde{ϵ}}_{μ_{1} μ_{2} \dots μ_{N}} D X^{μ_{1}} \land D X^{μ_{2}} \land . . . \land D X^{μ_{N}} \end{matrix}

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^{n-1} =\frac{1}{n!}\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n} dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu_n}\tag{1}$ Wo es eine Summierung über wiederholte Indizes nach der Einstein-Summierungskonvention gibt und

ϵ_{μ_{1} μ_{2} \dots μ_{N}} = \sqrt{| G |} {\tilde{ϵ}}_{μ_{1} μ_{2} \dots μ_{N}}

$\epsilon_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}}=\sqrt{{|g|}}\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}}$

Jetzt unter den Koordinatentransformationen $x^{\mu}\rightarrow x'^{\mu}$ , $\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}}$ bleiben gleich, während die Basis eine Form als transformiert

\begin{matrix} (2) & D X^{μ^{'}} = \frac{\partial X^{μ^{'}}}{\partial X^{μ}} D X^{μ} \end{matrix}

$\mathrm{d}x^{\mu'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\mathrm{d}x^{\mu}\tag{2}$ Die Verwendung von (2) in (1) ergibt

\begin{array}{rcl} ϵ_{μ_{1} μ_{2} \dots μ_{N}} D X^{μ_{1}} \land D X^{μ_{2}} \land . . . \land D X^{μ_{N}} & = & ({\tilde{ϵ}}_{μ_{1} μ_{2} \dots μ_{N}} \frac{\partial X^{μ_{1}}}{\partial X^{μ_{1}^{'}}} \dots \frac{\partial X^{μ_{N}}}{\partial X^{μ_{N}^{'}}}) D X^{μ_{1}^{'}} \land D X^{μ_{2}^{'}} \land . . . \land D X^{μ_{N}^{'}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n} dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu_n} & = & \left(\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n}\frac{\partial x^{\mu_{1}}}{\partial x^{\mu'_{1}}}\cdots\frac{\partial x^{\mu_{n}}}{\partial x^{\mu'_{n}}}\right)dx^{\mu'_{1}}\wedge dx^{\mu'_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu'_n}\notag\\ \end{eqnarray}$ Deshalb

\begin{array}{rcl} (3) & {\tilde{ϵ}}_{μ_{1} μ_{2} \dots μ_{N}} D X^{μ_{1}} \land D X^{μ_{2}} \land . . . \land D X^{μ_{N}} & = & | \frac{\partial X^{μ}}{\partial X^{μ^{'}}} | {\tilde{ϵ}}_{μ_{1}^{'} μ_{2}^{'} \dots μ_{N}^{'}} D X^{μ_{1}^{'}} \land D X^{μ_{2}^{'}} \land . . . \land D X^{μ_{N}^{'}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n} dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu_n} & = & \left|\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\right|\tilde{\epsilon}_{\mu'_{1}\mu'_{2}\cdots\mu'_n}dx^{\mu'_{1}}\wedge dx^{\mu'_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu'_n}\tag{3} \end{eqnarray}$ Ausdruck (3) beweist die Behauptung, dass

d x^{0} \land d x^{1} \land . . . \land d x^{n - 1}

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^{n-1}$ ist die Tensordichte.

Wie aus dem zweidimensionalen Fall hervorgeht, verwendet das OP die Konvention, in der sich das Keilprodukt befindet $k!$ mal die Konvention, die Sie verwenden. Vielleicht wäre es aufschlussreicher, der OP-Konvention zu folgen. Außerdem die $\epsilon$ ist in Ihrem (1) das Levi-Civita- Symbol zu verstehen , das sich bei einer allgemeinen Koordinatentransformation nicht in das Levi-Civita-Symbol umwandelt. Dies ist kein Problem in dem Sinne, dass Sie tatsächlich das Keilprodukt und nicht die Komponenten umwandeln, aber es ist irreführend, dies zu behaupten.
Vielen Dank für den Hinweis auf den Fehler. Sie können die Antwort jetzt überprüfen.
Ich denke, der beste Weg, dies in Ihrem Fall zu tun, wäre, alle Gespräche über die Transformation des Levi-Civita-Symbols (und des Tensors) zu überspringen, da Sie es später nicht verwenden. Wenn Sie explizit mit den Rahmenformen arbeiten, wenden Sie keine Transformation auf die Komponentenfunktionen an. Stattdessen transformieren Sie den Rahmen und identifizieren die transformierten Komponenten, indem Sie den transformierten Ausdruck in der Standardform sammeln. Genau das tun Sie später.

Benutzer270244 · Answer 3

Was Sie geschrieben haben, ist im Grunde, dass die: 2-Form in den alten Koordinaten = det (J) * (die 2-Form in den neuen Koordinaten)

Deshalb ist es eine Tensordichte, die durch det des Jakobiners transformiert wurde. Wäre es ein Tensor gewesen, hätte sich der Basisteil in die entgegengesetzte Richtung zum Komponententeil transformiert und ihn invariant gehalten.

Im Fall der 2-Form führt die Antisymmetrisierung das Levi-Civita-Symbol als Komponenten in die Tensorbasis ein (wenn Sie das Keilprodukt als äußeres Produkt erweitern). Dieses Zeug ist jedoch keine Koordinateninvariante und ändert sich, wie wir zuvor gesehen haben. Hoffe das erklärt es.

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Erik Jörgenfelt

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Masse

Erik Jörgenfelt

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Benutzer270244

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