Inverser Laplace

Lassen Sie uns eine beliebige Funktion schreiben$f:\,\Bbb R^3\mapsto\Bbb R$als Fourier-Transformation:

$$f(\vec{r})=(2\pi)^{-3/2}\int_{\Bbb R^3}\tilde{f}(\vec{k})e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}d^3\vec{k},\,f(\vec{k}):=(2\pi)^{-3/2}\int_{\Bbb R^3}f(\vec{r})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}d^3\vec{r}.$$ (Ich habe mich auf a beschränkt$3$-dimensionalen Raum, weil ich überzeugt bin, dass das der Grund ist$\frac13$taucht in dem Ausdruck auf, auf den Sie gestoßen sind.) Die naheliegendste Definition von$\frac{1}{\nabla^2}f$Ist $$\frac{1}{\nabla^2}f:=(2\pi)^{-3/2}\int_{\Bbb R^n}\frac{\tilde{f}(\vec{k})}{-k^2}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}d^3\vec{k}=(2\pi)^{-3}\int_{(\Bbb R^3)^2}\frac{f(\vec{R})e^{i\vec{k}\cdot(\vec{r}-\vec{R})}}{-k^2}d^3\vec{k}d^3\vec{R}.$$ Dies stimmt mit @Vincents Definition von überein$(\nabla^2)^{-1}$bereitgestellt $$(2\pi)^{-3}\int_{\Bbb R^3}\frac{e^{i\vec{k}\cdot\vec{z}}}{k^2+m^2}d^3\vec{k}=\frac{e^{-mz}}{4\pi z}$$ wird genommen als$m\to0^+$(Genau genommen ist dies eine Verteilungsgrenze). Durch Fourier-Inversion ist diese Vermutung äquivalent zu $$\int_{\Bbb R^3}\frac{e^{-mz-i\vec{k}\cdot\vec{z}}d^3\vec{z}}{4\pi z}=\frac{1}{k^2+m^2}.$$ Tatsächlich schreiben sphärische Polare die LHS um als $$\begin{align}\frac12\int_0^\pi d\theta\sin\theta\int_0^\infty ze^{-(m+ik\cos\theta)z}dz&=\frac12\int_0^\pi\frac{\sin\theta}{(m+ik\cos\theta)^2}d\theta\\&=\frac{1}{2ik}\left[\frac{1}{m+ik\cos\theta}\right]_0^\pi\\&=\frac{1}{k^2+m^2}.\end{align}$$ Dies ist eine ziemlich komplizierte Manipulation, daher lohnt es sich, die Dimensionsanalyse als Gesundheitscheck für die Leistungszählung zu verwenden.

Jeder Laplace-Operator kann mit seiner Green-Funktion invertiert werden . Wenn wir haben

$$\nabla^2V = \rho$$ das Gegenteil ist einfach $$V(x) = \left(\nabla^2\right)^{-1} (\rho) = -\frac{1}{4\pi}\int \frac{\rho(x')}{|x-x'|} \text{d}^3x'$$ und das ist damit gemeint$\frac{1}{\nabla^2}$, zumindest an den Stellen, wo ich es gesehen habe.