Kommutierungsbeziehungen für den inversen d'Alembertschen Operator

Gibt es eine Kommutierungsbeziehung für den inversen d'Alembertschen Operator in der Allgemeinen Relativitätstheorie? dh wenn wir definieren$\Box = g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu$Und$\Box \Box^{-1}X_{\alpha_1,\alpha_2...}=X_{\alpha_1,\alpha_2...}$dann gibt es einen Weg zu bekommen$[\nabla_\mu,\frac{1}{\Box}]X_{\alpha_1,\alpha_2...}$bezüglich$[\nabla_\mu,\Box]X_{\alpha_1,\alpha_2...}$?

Folgendes ist möglich:

$\Box [\nabla_\mu, \frac{1}{\Box}] X_{\alpha_1,\alpha_2...}=\Box \nabla_\mu \frac{1}{\Box} X_{\alpha_1,\alpha_2...}-\Box\frac{1}{\Box} \nabla_\mu X_{\alpha_1,\alpha_2...}\\ =\Box \nabla_\mu \frac{1}{\Box} X_{\alpha_1,\alpha_2...}- \nabla_\mu \Box\frac{1}{\Box}X_{\alpha_1,\alpha_2...}\\ =[\Box ,\nabla_\mu ]\frac{1}{\Box} X_{\alpha_1,\alpha_2...}$

Wenn$\Box^{-1}\Box X_{\alpha_1,\alpha_2...} =X_{\alpha_1,\alpha_2...}$wahr war, dann konnten wir dividieren durch$\Box$von links zu erreichen$\Box [\nabla_\mu, \frac{1}{\Box}] X_{\alpha_1,\alpha_2...}=[\Box ,\nabla_\mu ]\frac{1}{\Box} X_{\alpha_1,\alpha_2...}\\ \Box^{-1} \Box[\nabla_\mu, \frac{1}{\Box}] X_{\alpha_1,\alpha_2...}=\frac{1}{\Box}[\Box ,\nabla_\mu ]\frac{1}{\Box} X_{\alpha_1,\alpha_2...}\\ [\nabla_\mu, \frac{1}{\Box}] X_{\alpha_1,\alpha_2...}=\frac{1}{\Box}[\Box ,\nabla_\mu ]\frac{1}{\Box} X_{\alpha_1,\alpha_2...}$

wie Prahar vorschlägt, aber ich glaube nicht, dass dies möglich ist.