Ableitungen des Exponentialoperators

Die Standardidentität für die Ableitung der Exponentialkarte ist

$$\partial_c e^{M(c)}= e^{M} \left (1-\frac{1}{2}[M,\bullet]+ \frac{1}{6}[M,[M,\bullet]]+... \right ) \partial_c M,$$ Wo$\bullet$leitet das Argument auf der rechten Seite weiter, falls Sie mit der adjungierten Karte nicht vertraut waren.

Also einfach einstecken$M= -i\Delta t (X+cY)$,

$$\partial_c e^{-i\Delta t (X+cY)} \\ = e^{-i\Delta t (X+cY)} \Delta t \Bigl (-i Y +[\Delta t (X+cY), Y ]/2 + i[\Delta t (X+cY) , [\Delta t (X+cY),Y]]/6 +...\Bigr ) ,$$ in Höhe Ihres Ergebnisses.

Die gesuchte Identität von OP ist

$$\begin{align}e^{-\hat{A}}\frac{d}{d\lambda}e^{\hat{A}} ~=~& \int_0^1\!ds~e^{-s\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{s\hat{A}}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~& \int_0^1\!ds~e^{-s~{\rm ad}\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda} \cr ~=~& \int_0^1\!ds\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-s~{\rm ad}\hat{A})^n}{n!}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}\cr ~\stackrel{(4)}{=}~& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-{\rm ad}\hat{A})^n}{(n+1)!}\frac{d\hat{A}}{d\lambda} ,\end{align}\tag{1}$$

wo wir die adjungierte Abbildung definiert haben

$${\rm ad}\hat{A}~\equiv ~[\hat{A},~\cdot~],\tag{2}$$

die Identität verwendet

$$e^\hat{X} \hat{Y} e^{-\hat{X}}~=~e^{{\rm ad}\hat{X}}\hat{Y},\tag{3}$$

und das Integral verwendet

$$\int_0^1\!ds~s^n~=~\frac{1}{n+1}.\tag{4}$$

Die erste Gleichheit in Gl. (1) wird in meiner Phys.SE-Antwort hier bewiesen .