Die Kommutierung partieller Ableitungen in gekrümmter Raumzeit

Im Anschluss an eine Vortragsreihe zur Allgemeinen Relativitätstheorie wurde argumentiert, dass, damit die Raumzeit flach ist, ein Vektor, der parallel auf zwei verschiedenen Wegen transportiert wird, denselben Vektor ergeben sollte. Voraussetzung hierfür ist die Integrierbarkeit von

∂ ich X A + Γ M ich A X M = 0
dh die Kommutierung partieller Ableitungen ∂ ich ∂ J X A = ∂ J ∂ ich X A . Diese Bedingung gibt uns die Tatsache, dass für eine symmetrische Verbindung der Krümmungstensor Null sein sollte. Meine Fragen sind

  1. Können wir für eine Mannigfaltigkeit, für die der Krümmungstensor ungleich Null ist, die Kommutierung partieller Ableitungen verwenden oder nicht? Warum oder warum nicht.
  2. Auch wenn der Krümmungstensor nicht überall auf der Mannigfaltigkeit Null ist, kann er an einem bestimmten Punkt Null sein. Gibt der Krümmungstensor, der an einem Punkt Null ist, neue und weitere Informationen über den Punkt, wie über seine Ebenheit oder so?

Antworten (3)

Partielle Ableitungen kommutieren immer (für hinreichend glatte Funktionen). Es gelten die Standard-Kalkülbeweise, und es spielt keine Rolle, dass es diese zusätzliche Riemannsche Struktur einer Metrik usw.

Die zweite Frage betrifft die Semantik. Wenn die Krümmung an einem Punkt verschwindet und wir einen Vektor um eine Schleife endlicher Größe ziehen, kehrt sie im Allgemeinen nicht zu sich selbst zurück. Es gibt also im Allgemeinen keine endliche Region, für die wir sagen können, dass der Raum flach ist. Bei sehr kleinen Schleifen kehrt der Vektor jedoch ungefähr zu sich selbst zurück, sodass der Raum sehr nahe am Punkt im Allgemeinen ungefähr flach ist.

Wenn partielle Ableitungen immer kommutieren, warum verwenden wir dann die Kommutatorbedingung, um die Ebenheit der Mannigfaltigkeit zu beweisen?
Ich verstehe die Frage nicht. Wenn wir annehmen, dass sich ein Vektor bei parallelem Transport in einer geschlossenen Schleife nicht ändert, dann verschwindet der Riemann-Tensor. Die Berechnung beruht auf partiellen Ableitungen, die pendeln, was sie immer tun. Ändert sich ein Vektor bei parallelem Transport in einer Schleife, so zeigt die gleiche Rechnung, dass der Riemann-Tensor nicht verschwindet.

Partielle Ableitungen kommutieren, aber kovariante Ableitung ∇ A generell nicht. (Ihre Integrierbarkeitsgleichung kann wie folgt umformuliert werden ∇ ich X A = 0 .) Diese Ableitungen sind interessant, weil sie Tensoren zu Tensoren schicken. Wenn ϕ ist ein Skalar und v A ist ein Vektor, [ ∇ A , ∇ B ] ϕ = 0 Und [ ∇ A , ∇ B ] v C = R A B C D v D , Wo R A B C D ist der Riemann-Tensor. Wenn Kommutatoren von kovarianten Ableitungen auf höherrangige Tensoren einwirken, enthalten sie im Allgemeinen auch einen Differenzierungsterm.

In Ray d’invernos Buch Introducing Einstein’s Relativity erwähnt er die Tatsache, dass „eine notwendige Bedingung für eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung erster Ordnung ist ∂ ich ∂ J X A = ∂ J ∂ ich X A "wo die Gleichung war ∂ ich X A + Γ M ich A X M = 0 . Wenn nun die partiellen Ableitungen als solche kommutieren, warum wird das als Bedingung angegeben?
@NamanAgarwal Ich werde versuchen, das im Kontext nachzuschlagen, wenn Sie mir sagen, wo er diesen Kommentar macht.
Auf Seite Nr. 79 ; unter dem Abschnittsnamen "Affine Flatness". Kapitel 6
d'Inverno hat das sehr schlecht erklärt. Wenn ich seine Argumentation lese, denke ich, dass er damit sagen wollte, dass unsere Bemühungen, ein parallel transportiertes Vektorfeld zu konstruieren, aus X A an einem Punkt erfordert, dass die kovariante Ableitung auf dem Feld pendelt, die Tatsache, dass partielle Ableitungen dies ebenfalls tun, impliziert R A B C D X D = 0 .
Wenn dies der Fall ist, dann denke ich, dass meine Frage beantwortet wurde. Danke
  1. Wenn der Krümmungstensor nicht Null ist, kommutieren die kovarianten Ableitungen nicht konstruktionsbedingt. Die partiellen Ableitungen kommutieren per Definition immer, können aber für sich genommen nichts über die Ebenheit oder Krümmung einer Mannigfaltigkeit aussagen.
  2. Wenn der Krümmungstensor an einem bestimmten Punkt Null ist, können wir denken, dass in einem ausreichend kleinen Bereich um den Punkt herum die Mannigfaltigkeit ungefähr flach ist, dh der Verbindungsteil im Vergleich zur partiellen Ableitung vernachlässigbar ist (vorausgesetzt, die Funktionen sind ausreichend glatt).
Die Kommutierung partieller Ableitungen in gekrümmter Raumzeit
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