Raumzeitgeometrie und Metrik

Ich bin in einer Frage der Allgemeinen Relativitätstheorie verwirrt, warum wir eine Raum-Zeit-Geometrie immer nur durch Metrik ausdrücken können. Das bedeutet, dass eine Metrik, die nur ungefähr die Entfernung im Tangentialraum ist, uns alle Informationen über die Mannigfaltigkeit geben kann.

Ich weiß, dass es Standardbeweise gibt, zum Beispiel können wir die Verbindung durch Metrik ausdrücken, und so die Riemannsche Krümmung. Allerdings bin ich mit diesen Antworten nicht sehr zufrieden. Ich möchte noch einen direkteren Grund dafür.

Nach meinem Verständnis definiert eine Metrik nur den Abstand, die Länge von Tangentenvektoren, aber die Riemann-Krümmung sagt uns in meinen Augen mehr, zum Beispiel, wie sich eine Linie von einer direkten Linie unterscheidet und wie sich ein Vektor entlang eines geschlossenen Pfades bewegt .

Ich glaube, es muss ein nettes und schönes Argument geben, das zeigt, dass Metrik ausreicht, alles ist.

Diese Frage ist ziemlich vage, also haben Sie bitte einfach Lust auf ein Gespräch.

Es ist schwer, Ihre Argumentation zu verstehen. Im zweiten Absatz schreiben Sie, dass Sie wissen, dass der Riemann-Krümmungstensor in Bezug auf die Metrik (und ihre Ableitungen) geschrieben werden kann. Im dritten Absatz sagen Sie, dass die Riemann-Krümmung Ihnen mehr sagt. Diese beiden Sätze widersprechen sich doch direkt, oder? Man kann allgemeinere "Geometrien" betrachten als diejenigen, die durch die metrische Tensorkonfiguration gegeben sind. Aber Sie müssten zuerst definieren, was Sie unter einer solchen verallgemeinerten "Geometrie" verstehen, und dann könnten wir darüber diskutieren (Torsion oder irgendetwas anderes hinzufügen).
Entschuldigung, ich gebe zu, ich rede hier sehr verwirrend. Indem ich den Riemann-Krümmungstensor in Bezug auf die Metrik schreibe, glaube ich, dass die Metrik alles sagt. Ich versuche dies jedoch zu verstehen, weil es für mich nicht sehr natürlich ist, dass „eine lokale Längenmessung“ alle Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit angeben kann.
Vielleicht wird die Sache klarer, wenn man bedenkt, dass auch Winkel durch die Metrik, also den Winkel, ausgedrückt werden können θ zwischen X Und j wird von gegeben cos ⁡ θ = G μ v X μ j v / [ X 2 j 2 ] 1 / 2 , wobei ich mir nicht die Mühe gemacht habe, den Nenner in Bezug auf auszuschreiben G .
Beachten Sie, dass die Metrik die Verbindung eigentlich nicht eindeutig definiert - Sie benötigen die zusätzliche Bedingung, dass die Verbindung torsionsfrei sein sollte
Kennen Sie den <a href=" en.wikipedia.org/wiki/Tetradenformalismus"> Tetradenformalismus</a>? Die Tetrade gibt Ihnen eine direkte Möglichkeit, die Metrik zu berechnen, und sie gibt Ihnen auch ein sehr physisches Bild der Dinge, über die Sie sprechen.
@Christoph: und technisch gesehen, dass Sie eine metrische kompatible Verbindung wählen.

Antworten (2)

So ungefähr denke ich darüber. Eine Mannigfaltigkeit ist als eine Reihe von Dimensionen definiert N mit einer offenen Nachbarschaft an jedem Punkt, der eine 1-1 und kontinuierliche Karte zu einem euklidischen Raum hat, E N ; so dass es lokal "wie" ist E N . Eine einzelne Karte ist ein Diagramm. Der Satz von Karten, der die gesamte Mannigfaltigkeit abdeckt, ist ein Atlas. (Shutz, Bernard. Geometrical Methods of Mathematical Physics) Wenn die Diagramme für eine Menge wie eine Kugel konstruiert werden, kann die Metrik für die Kugel aus der Transformation von euklidischen Koordinaten und der Tatsache, dass die Metrik ein Tensor ist, abgeleitet werden. Die Metrik misst also die Abweichung vom euklidischen Raum. Und wenn Sie genau wissen, wie sich ein Raum an jedem Punkt von einem euklidischen Raum unterscheidet, dann wissen Sie „alles“ über diesen Raum.

Aber es gibt topologisch unterschiedliche Räume mit derselben Metrik – ein Zylinder ist flach. Es sagt also nicht wirklich alles aus.

*Bearbeitet, um den Kommentar von gns-ank widerzuspiegeln. Ersetzte eine falsche oder ungenaue Definition von Mannigfaltigkeit durch eine strenge Definition.

+1 für das Zylinderbeispiel. Dabei wird oft übersehen, dass die Metrik nur etwas über die lokale Geometrie aussagt .
Man sollte jedoch beachten, dass die Mannigfaltigkeit nicht als etwas definiert ist, das lokal euklidisch ist. Es ist nur so, dass Pseudo-Riemiann-Mannigfaltigkeiten als solche definiert sind und in allgemeinen und speziellen Relativitätstheorien verwendet werden.
@gns-ank Ich habe das, was ich über den Verteiler geschrieben habe, durch die in Shutz gefundene Definition des Verteilers ersetzt. Geometrische Methoden
+1 für das Zylinderbeispiel habe ich auch ignoriert, dass Metrik nicht alles ist.

Es ist ein Irrtum, dass eine Riemannsche Metrik nur eine Norm auf den Tangentialräumen angibt: Das Skalarprodukt fügt auch den Begriff der Winkel und der geodätischen Distanz hinzu (und damit eine tatsächliche Metrik auf der Mannigfaltigkeit).

Ich persönlich finde es nicht verwunderlich, dass Abstände und Winkel ausreichen, um die Geometrie anzugeben – was sollte es noch geben? (Torsion natürlich - aber in der allgemeinen Relativitätstheorie ignorieren wir traditionell diesen zusätzlichen Freiheitsgrad ...)

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