Inverses Quadratgesetz nicht genau für Nicht-Punktmassen?

Es ist nicht ganz richtig zu sagen, dass das Gesetz des Abstandsquadrats "für Nicht-Punktmassen nicht genau " ist. Die richtigere Antwort ist zu sagen, dass es für nicht kugelsymmetrische Massen nicht genau ist.

Das Gesetz des umgekehrten Quadrats hängt im Wesentlichen von der Tatsache ab, dass die Quelle für das Objekt, das von ihr angezogen wird, gleich "aussieht", egal wo sie sich im Verhältnis befindet. Wenn es eine Unebenheit "sehen" kann, die es aus einer Richtung als aus einer anderen Richtung nmmt, wird es mehr Kraft von dieser Unebenheit spüren als sonst, selbst wenn es sich im gleichen Abstand vom Massenmittelpunkt befindet, wodurch das Gesetz des umgekehrten Quadrats verletzt wird. ZB ein zweilappiges Asteroiden-/Kometenobjekt wie das kürzlich entdeckte „Ultima Thule“, bei dem ein Lappen auf Sie gerichtet ist, im Gegensatz zu einem Objekt in gleicher Entfernung, das es aber seitlich „sieht“.

Für eine kugelsymmetrische Masse können Sie tatsächlich zeigen, dass das Newtonsche Gesetz in seiner üblichen Form gilt. Dies kann durch ein Gravitationsanalog des Gaußschen Gesetzes für elektrische Felder erfolgen:

Wo$S$ist eine geschlossene Fläche, die die Masse umschließt (kann dieses komische Kreisding um das Integral hier nicht richtig schreiben, sorry) und$M_\mathrm{enc}$die eingeschlossene Masse. Alternativ können Sie auch einfach das Newtonsche Gesetz integrieren, aber das ist nicht so schön.

Es ist auch wichtig darauf hinzuweisen, dass die sphärische Symmetrie nicht nur in der groben Form der Masse liegen muss, sondern auch in ihrer Dichteverteilung. Tatsächlich ist das Gravitationsfeld der Erde nicht sphärisch symmetrisch und daher nicht invers quadratisch für erdnahe Objekte, hauptsächlich wegen solcher Inhomogenitäten darin als alles andere - eine Tatsache, die sich zeigt, wenn Sie ein "Geoid" betrachten, effektiv eine Karte der Form des Schwerefelds der Erde, die in der Kartographie verwendet wird, um dem Begriff "Meeresspiegel" eine genaue Bedeutung zu geben. Trotzdem ist die grobe Form der Erde genauso gut, wenn nicht eine bessere Kugel als viele "kugelförmige" Objekte, die Sie in Ihren Händen halten können.

(Anmerkung: Eine andere, aber bisher rein hypothetische oder fantastische Möglichkeit, aber wohl dramatischer, es zu verletzen, wäre, wenn es negative Gravitationsmassen gäbe [was wahrscheinlich gegen Einsteins Theorie verstößt]: Diese würden die Schaffung von "gravitativen Dipolen" ermöglichen [ dh ein nicht entfernbares gravitatives Dipolmoment], das analog zu elektrischen Dipolen wäre und daher ein umgekehrtes Würfelgesetz hätte .)

ADD (siehe Kommentare): Als Anmerkung, dieses Ergebnis ist auch ein Fall des berühmten Schalensatzes und wurde vom Begründer der klassischen Mechanik, Sir Isaac Newton, selbst bewiesen. Das Obige ist ein modernerer Ansatz zur Ableitung des Ergebnisses.

ADD 2 : Ich stelle fest, dass nach einer Erklärung gesucht wurde, nicht nur für die korrekte Beweisweise des inversen quadratischen Verhaltens für eine ausgedehnte kugelsymmetrische Masse, sondern auch dafür, warum der versuchte Beweis des OP fehlerhaft ist . Der grundlegende Grund dafür ist, dass das wesentliche Merkmal – das Abstandsquadratgesetz – des kugelsymmetrischen Verhaltens nicht in Bezug auf das Verhalten seiner einzelnen Teile analysiert werden kann : Es erscheint nur , wenn man sie alle zusammenzählt, ganzheitlich, zumindest bis zu der Punkt, an dem volle sphärische Symmetrie erreicht wird. Es reicht nicht aus, dass die beiden aus der Kugel ausgewählten Massenelemente symmetrisch um ihren Mittelpunkt sind. Denn während sie zusammen eine gewisse Symmetrie haben (nämlich$\mathrm{O}(2) \times \mathbb{Z}_2$), sie haben keine Kugelsymmetrie . Daher werden sie alleine niemals vollständig durch eine Punktkonzentration ersetzt werden können, wie Sie es versuchen, und Sie können nur in die Irre geführt werden, was das gesamte Verhalten angeht, wenn Sie nur einzeln an sie denken. Dieser logische Fehler hat tatsächlich einen Namen: Er heißt Trugschluss der Zusammensetzung – vorausgesetzt, dass ein zusammengesetztes System notwendigerweise die gleichen Eigenschaften wie seine Teile hat oder „erbt“. Das tut es nicht, oder wenn doch, muss das bewiesen werden und nicht einfach aus der Tatsache seiner Zusammensetzung damit gefolgert werden.

(Nun, eigentlich kann man es aufbrechen, aber man muss es "wie eine Zwiebel schälen" in kugelige Schalen. Ich füge das nicht hinzu, weil es eigentlich "trivial" ist: das "gute Teil" - dh das grundlegender Unterschied zwischen sphärischer Symmetrie und nicht-sphärischer Symmetrie - ist schon da, wie es sein muss , und hat daher keine wirkliche Erklärungs- oder Beweiskraft , würde ich sagen. Es könnte bestenfalls der letzte Schritt in einem sein Beweis, aber nicht der fleischigste Schritt.)

Das Abstandsquadratgesetz ist exakt, solange allgemeine relativistische Korrekturen vernachlässigt werden können. Für jede Massenverteilung kann die Kraft durch Summieren des Beitrags zum Gesetz des umgekehrten Quadrats aus seinen Teilen gefunden werden, dh durch Faltung der Dichteverteilung mit dem Gesetz des umgekehrten Quadrats.