Ist es möglich, den letzten Block von der untersten Schicht eines Jenga-Turms zu entfernen?

Lassen Sie uns das in Schritten angehen.

Nehmen Sie zunächst an, dass zwischen dem unteren Block und dem Turm sowie zwischen dem unteren Block und dem Boden keine Reibung besteht. Wenn ich den Block "unendlich schnell" bewege, hat der Turm überhaupt keine Zeit gehabt, sich zu neigen, und er fällt vertikal (und bleibt aufrecht).

Das sagt mir, dass es zwei Dinge zu beachten gibt:

1. die Zeit, die man braucht, um sich zu bewegen (wenn ich mich langsam bewege, fällt der Turm)
2. die Reibung zwischen Block und Turm (bei genügend Reibung ziehe ich den Turm mit)

Jetzt weiß ich, welche Gleichungen ich aufstellen muss.

Schauen wir uns zunächst den Fall "langsam bewegen, keine Reibung" an. Wenn der Turm Höhe hat$H$, Breite$w$und gleichmäßiger Massenverteilung, dann fällt sie immer schneller, wenn wir sie außermittig stützen. Ich habe vor einiger Zeit eine Antwort zum Ausbalancieren eines Bleistifts geschrieben, die die Berechnung der Bewegungsgleichung des umgekehrten Pendels enthält. Dies wird durch die Annahme erschwert, dass sich die Stütze bewegt – vereinfachen wir also. Wenn wir den Turm "am Rand" abstützen würden, wie lange würde es dauern, bis er umkippt?

Dies hängt zum Teil von der Höhe des unteren Blocks ab: Bei einem sehr dünnen Block würde der Turm kippen und dann in einem leichten Winkel zum Stillstand kommen. Bei einem größeren Block wird er kippen, bis die Ecke den Boden berührt, und zwar mit ausreichender Geschwindigkeit, um weiter umzukippen. Das folgende Diagramm zeigt, woran wir denken:

Es wird eine bestimmte Blockhöhe geben$h$unterhalb dessen der Turm nicht umfällt. Fangen wir an, diese Grenze zu finden ...

Für Masse$m$zunächst verdrängt$w/2$, das Gesamtdrehmoment ist gegeben durch

Und der Drehimpuls des Stabes um den Drehpunkt ist ungefähr (für H>>w)$\frac13 m D^2$.

Ob der Turm weiter kippen wird, lässt sich nun am einfachsten mit einem Energieargument berechnen. Der Turm wird umstürzen, wenn er noch Geschwindigkeit hat, wenn sich der Schwerpunkt über der Ecke befindet - das heißt, wann$\theta = \alpha$. Wenn der Schwerpunkt dabei unter der Ausgangsposition liegt, fällt der Turm.

Anfangs ist das c von m bei$H/2 + h$; nachdem die Ecke fällt, ist die maximale Höhe des Massenmittelpunkts$\frac{D}{2} = \frac12 \sqrt{H^2 + w^2}$. Mit anderen Worten, der Turm ist so lange stabil

wenn wir annehmen$w$Und$h$sind beide viel kleiner als$H$, können wir dies durch Erweiterung umschreiben:

Beachten Sie, dass diese Analyse unter der Annahme durchgeführt wurde, dass der Block bis zum Rand des Turms bewegt wird: Während dies dazu führen würde, dass der Turm anfänglich am schnellsten zu kippen beginnt, schränkt es den Winkel ein, den er erreicht, wenn die Ecke zum Stillstand kommt . Wenn wir das andere Extrem nehmen, bei dem der Block "knapp aus der Mitte" bewegt wird, dann ist der anfängliche Neigungswinkel, wenn die Ecke zum ersten Mal auf den Boden trifft$\theta = \tan^{-1}\frac{w}{2H}$. Offensichtlich, wenn dieser Winkel größer als der Innenwinkel ist$\alpha$, wird der Turm weiter fallen - aber vorausgesetzt, dass dies nicht der Fall ist, dann gilt die gleiche Analyse wie oben. Dies setzt eine zweite Grenze auf$h$:

$\frac{h}{2w} \lt \frac{w}{H}\ h \lt \frac{2 w^2}{H}$$

Wie Sie sehen können, ist dies tatsächlich eine weniger schwerwiegende Einschränkung - die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Turm weiter bewegt, wenn er landet, setzt eine engere Grenze dafür, wie groß der Block sein kann.

Jetzt denke ich, dass wir diese "Begrenzungsblockhöhe" verwenden können, um die Zeit abzuschätzen, in der wir einen größeren Block aus dem Weg räumen müssen: Wenn der Block entfernt wird, bevor die Ecke den Boden berührt, bewegt sich der Turm weiter gleiche Rotationsgeschwindigkeit wie zuvor, während es gleichzeitig zu Boden fällt. Die Gleichungen fangen jetzt an, wirklich chaotisch zu werden - besonders wenn wir Reibung hinzufügen. Ich denke, es ist Zeit, zu einer numerischen Lösung zu gehen ...

Das folgende Python-Codebeispiel ist eine sehr ungefähre Herangehensweise. Für die von mir gewählten Parameter muss der Block mit einer Geschwindigkeit von mindestens 0,36 m/s herausgezogen werden - nicht besonders schnell. Natürlich mache ich hier alle möglichen Annahmen, und ich vermute, dass die Physik, die ich modelliert habe, ziemlich schlampig war. Aber Sie könnten dies als Ausgangspunkt für eine richtige Simulation verwenden. Zeichnen Sie Diagramme, stellen Sie die Bewegungsgleichungen richtig auf (als Funktionen statt Inline) und verwenden Sie ein besseres Integrationsschema (Sprung, Runge-Kutta) als ich verwendet habe. Ich bin mir sicher, dass die Berechnung mindestens einen Fehler enthält - ich berücksichtige die seitliche Bewegung des Schwerpunkts während des Ziehens nicht richtig (die Reibungskraft sollte den gesamten Turm seitwärts bewegen).

Also - viel zu tun, aber ich kann jetzt nicht mehr Zeit damit verbringen. Ich dachte, Sie könnten diesen Schubs in Richtung einer Lösung zu schätzen wissen - aber behandeln Sie dies bitte nicht als "richtige endgültige Antwort".

import math
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# very simplistic jenga simulation
H = 0.3  # m
w = 0.05 # m
h = 0.01 # m
D = math.sqrt(H*H+w*w) # diagonal
m = 1    # kg - just to make equations work... drops out everywhere
g = 9.8  # m/s/s
I = m*D*D/3.0

# initial stability criterion:
if (h < w*w/(4*H)):
    print 'stable'
else:
    print 'falls over'

plt.close('all')

#numerical solution - including friction. Loop over range of velocities
for v in np.arange(0.3,0.4,0.01):
 mu = 0.1 # set=0 for frictionless...
 dt = 0.0001
 theta = 0
 omega = 0
 alpha = math.atan(w/H)
 x = 0
 y = h + 0.5*H # center of mass height
 yc = h # corner height
 t=[0]
 a = [0]
 corner=[h]
 vy = 0
 while ((x < w/2) & (yc > 0)):
    beta = theta + alpha
    # torque due to gravity and friction
    # not sure about that second term...
    gamma = 0.5 * m * g * D * math.sin(beta) + m*g*mu*H/2 * (I/(I+m*H*H/4)) 
    dOmega = dt * gamma / I
    omega = omega + dOmega
    dy = omega * math.sqrt(x*x + 0.25*H*H) * math.cos(beta)
    y = y - dy # center of mass height
    yc = h - (x + w/2)* math.sin(theta) # corner height
    theta = theta + omega * dt
    a.append(theta)
    t.append(t[-1]+dt)
    corner.append(yc)
    x = x + v * dt
 # part 2 = free fall
 while(yc > 0):
    theta = theta + omega * dt
    vy = vy + g * dt
    dy = vy * dt
    yc = yc - vy*dt - dt * omega * D/2 * math.sin(alpha-theta)
    t.append(t[-1]+dt)
    corner.append(yc)
    a.append(theta)

 # part 3: does it keep falling:
 while((omega > 0) & (theta < math.pi/2)):
    gamma = m*g*D/2*math.sin(theta-alpha)
    dOmega = dt * gamma / I
    omega = omega + dOmega
    theta = theta + omega*dt
    a.append(theta)
    t.append(t[-1]+dt)
    corner.append(0)

 plt.figure()
 plt.plot(t, a)
 plt.plot(t, corner)
 plt.title('v = %.2f m/s'%v)
 plt.show()

Wenn Sie die Höhe der Ecke und den Winkel des Turms als Funktion der Zeit auftragen, erhalten Sie unterschiedliche Regime. Wenn Sie sich sehr langsam bewegen, fällt der Turm vollständig um (blaue Linie = Winkel; grüne Linie = Höhe der Ecke über dem Boden):

Wenn Sie sehr schnell ziehen (in diesem Fall über 0,37 m/s - aber das hängt stark von den gewählten Parametern ab), kippt er ein wenig und erholt sich dann (die Simulation stoppt, wenn der Turm beginnt, sich in die andere Richtung zu drehen - dh wenn er sich drehte stabil sein):

Schließlich wird der Turm in dieser Simulation bei einer Zuggeschwindigkeit von 0,36 m/s einfach instabil: Sie können sehen, dass er schwankt und dann fällt (beachten Sie die längere Zeitskala):