Variation der Höhe eines Geschosses und Wirkung auf die Reichweite-Experiment

Aufgrund der Steilheit der Steigung besteht die Möglichkeit, dass Energie verloren geht, wenn der Ball mit dem Boden der Rampe kollidiert. Anhand des ersten Diagramms scheint es keinen Grund zu der Annahme zu geben, dass das Projektil den Tisch schräg verlässt, sondern sich horizontal bewegt.

Aber wenn man sich das hinzugefügte (zweite) Diagramm ansieht, scheint der Ball, der mit dem unteren Rand der Rampe kollidiert, dem Ball (durch Aufprallen) auch einen gewissen Auftrieb zu verleihen, da er die Kante mit einer anscheinend nach oben gerichteten Geschwindigkeitskomponente verlässt. Dies könnte Ihre Ergebnisse verkomplizieren, daher ist es vielleicht eine gute Idee, die Höhe, in der die Kugel losgelassen wird (und wenn möglich, den Neigungswinkel) zu minimieren, damit das Verhältnis zwischen$h$Und$x$wird genauer durch die unten stehende abgeleitete Beziehung angegeben.

Betrachten wir zunächst die Gesamtenergie des Systems.

Wenn der Ball den unteren Rand der Rampe erreicht, wird die Gesamtenergie durch gegeben

$$\tag1\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2=mgh$$ da das Objekt sowohl translatorische als auch rotatorische kinetische Energie hat.

Wenn wir anrufen$t$die Flugzeit des Projektils (wenn es den Tisch zum Boden verlässt), dann haben wir in horizontaler Richtung$x=vt$oder$t=\frac{x}{v}$und da

$$H=\frac{1}{2}gt^2$$ seit$v$ist dann die horizontale Geschwindigkeit in Gleichung (1). $$H=\frac{gx^2}{2v^2}$$ oder $$v^2=\frac{gx^2}{2H}$$

Sie können diesen Ausdruck in Gleichung (1) einsetzen und erhalten einen Ausdruck für den horizontalen Bereich$x$bezüglich$v$. Sie können auch das Trägheitsmoment für die Kugel (eine Kugel) verwenden,

$$I=\frac{2}{5}mR^2$$ Und $$\omega=\frac{v}{R}$$ in Gleichung (1).

Sie sollten etwas Ähnliches bekommen

$$x= \sqrt{\frac{20}{7}hH}$$ oder $$x=c\sqrt{{h}}$$ für einige konstant$c$(Dabei$H$ist fest und vorausgesetzt, ich habe die Algebra richtig gemacht), was beim Betrachten des Diagramms ungefähr richtig aussieht. Dies ist sicherlich keine lineare Beziehung zwischen$x$und Höhe. Vielleicht war gemeint, dass es eine lineare Beziehung zwischen gibt$h$Und$x^2$?

Ist das eine numerische Aufgabe aus einem Physiklehrbuch oder machst du das Experiment tatsächlich?
Wenn es ersteres ist, dann können Sie davon ausgehen, dass das Projektil den Tisch perfekt horizontal verlässt.
Natürlich ist in der realen Welt nichts perfekt und es wird immer einen kleinen Winkel geben.

Nach meinen Daten besteht ein linearer Zusammenhang zwischen h und x

Dies ist wiederum etwas, das in der realen Welt für kleine Werte von h und x nur annähernd wahr sein könnte.
Im Allgemeinen werden sie nicht linear zusammenhängen. Vielmehr hängen h und x^2 linear zusammen.

Für den realistischen Fall habe ich aus der Steigungskurve eine Gleitkurve "gemacht".

Wo

$$F(x)=\frac {1}{54}\,x^3-\frac{1}{12} x^2-\,x+5\\ $$

bei$x_e=6~$Ist$F(x)=0$und das$\frac{dF}{dx}\bigg|_{x=x_e}=0$somit ist die Geschwindigkeit horizontal.

mit

$$T=\frac 12 m\,v^2+ \frac 12\,\frac 25\,m\,r^2\,\dot\varphi^2\\ U=m\,g\,F(x)\\ v=\frac{dF}{dx}\,\dot x$$ und der Rollzustand$\dot x=r\dot\varphi$Sie erhalten die Energie$~E=T+U=E(\dot x,x)$

von der Erhaltung der Energie, die Sie haben

$$E(\dot x,x)=E(\dot x=0,x=0)=m\,g\,h$$ von hier erhalten Sie $$v_e=\dot x(x)\bigg|_{x=x_e}$$

Sie kennen jetzt die Geschwindigkeit am Ende der Rutsche$~v_e~$Sie können jetzt die Projektilgleichungen verwenden

$$X=v_e\,t\\ Y=H-\frac 12\,g\,t^2\\ \Rightarrow\\ Y(X)=H-\frac 12 \frac{g\,X^2}{v_e}$$ $$Y(X)=0~\Rightarrow~X=\sqrt{\frac{2\,H}{g}}\,v_e\\ $$

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Sie können die Funktion parametrieren$F(x)$

$$F(x)={\frac { \left( -4\,h+4\,e \right) {x}^{3}}{{e}^{3}}}-{\frac { \left( -9\,h+8\,e \right) {x}^{2}}{{e}^{2}}}+{\frac { \left( -6\,h+4\,e \right) x}{e}}+h$$

Wo$~h=F(0)~$und e ist der Parameter wo$F(e)=0$

aus der Erhaltung der Energie am Punkt e erhält man

$$\frac 15\,m\,v_e^2=m\,g\,h$$

somit$v_e=\sqrt{5\,g\,h}$

$$X=\sqrt{\frac{2\,H}{g}}\,v_e=\sqrt{10\,H\,h}$$

das Ergebnis von @joseph.h ist$~X=\sqrt{\frac{20}{7}\,H\,h}~$was eine gute Annäherung ist.