Ist Farbladung eine quantenmechanische Beobachtung?

Farbladung im Sinne von „blau, rot, grün sein“ ist keine quantenmechanische Beobachtung, weil die$\mathrm{SU}(3)$Messtransformationen mischen die Farben. Das heißt, es ist sinnlos zu sagen „Wir haben ein blaues Teilchen“, weil wir eine Eichtransformation durchführen können und dann haben wir „ein rotes Teilchen“. Da durch Eichtransformationen verwandte physikalische Beschreibungen äquivalent sind, gibt es keinen Unterschied zwischen „ein rotes Teilchen haben“ und „ein blaues Teilchen haben“. Die „Farbe“ eines Objekts kann man in diesem Sinne nicht einmal im Prinzip bestimmen.

Die populären Formulierungen von „roten, blauen und grünen“ Quarks sind eigentlich bedeutungslos . Sie liefern eine schöne Heuristik, weil die „Farbensprache“ viele intuitive Schlussfolgerungen über die ansonsten nicht intuitive Gruppentheorie ziehen kann, aber „rote, blaue oder grüne“ Quarks existieren nicht . Objekte in der Theorie, die durch eine Eichtransformation in Beziehung stehen, sind buchstäblich gleich , es gibt keinen Unterschied zwischen einem "roten Quark" und einem "grünen Quark" - ein Quark ist ein Quark ist ein Quark.

Was wir sagen können (wenn es Ihnen gelingt, das farbgeladene Zeug zu dekonfinieren, da Confinement bedeutet, dass wir nur farblose Objekte sehen) ist „Ich habe ein farbgeladenes Teilchen“ und spezifizieren „welche Art von Farbladung“ es hat , dh ob es nur eine Farbe hat (wie Quarks) oder eine Farbe-Antifarbe (wie Gluonen) oder Farbe-Antifarbe-Antifarbe (wie nichts, was wir wissen) und so weiter. (Diese entsprechen formal unterschiedlichen$\mathrm{SU}(3)$Darstellungen) Dies - "Farbe/Farbe-Antifarbe/Farbe-Antifarbe-Antifarbe/..." - ist die richtige Verallgemeinerung des$\mathrm{U}(1)$elektrische Ladung zu nicht-Abelschen Eichtheorien.

Normalerweise bedeutet die Ladung, auf die wir uns in QFT beziehen, die Noether-Ladung mit einer gewissen globalen (dh physikalischen) Symmetrie. Zum Beispiel die Noether-Ladung, die mit einem Global verbunden ist$U(1)$Transformation in der QED wird als elektrische Ladung bezeichnet. Damit muss man vorsichtig sein$U(1)$Transformation, weil viele Leute es mit der verwechselten$U(1)$-Eichinvarianz in QED, dh die Redundanz unter einem lokalen$U(1)$-Transformation.

Die Sätze von Noether gelten nur für globale Symmetrien. Sie können versuchen, sie auf eine Eichtransformation (dh lokale Transformation) anzuwenden und eine Erhaltungsgröße zu finden, aber sie ist keine physikalische Observable, da sie nicht eichinvariant ist.

Genauer gesagt, die Erhaltungsgröße, die Sie für a haben$U(1)$-Gauge-Transformation$A^{\mu}\rightarrow A^{\mu}+\partial^{\mu}\Lambda$Ist

$$J^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\delta A_\nu=-\frac12 F^{\mu\nu}\partial_\nu\Lambda,$$

die zwar erhalten, aber nicht eichinvariant ist.

Das Gleiche gilt für$SU(3)$-Eichtheorie. Die Farben von Quarks bleiben erhalten, sind aber nicht eichinvariant. In der QED kann man im Wesentlichen die globale U(1)-Symmetrie eines geladenen Fermions als den „globalen Teil“ des betrachten$U(1)$-Eichinvarianz. Im nicht-abelschen Fall kann man jedoch leicht erkennen, dass der "globale Teil" von$SU(3)$ist sein Zentrum, das eine diskrete Untergruppe ist. Mit anderen Worten, man sollte keinen damit verbundenen Erhaltungsstrom erwarten.

Stattdessen ist angesichts der Lagrange-Funktion von a$SU(3)$-Eichtheorie,

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}\mathrm{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})+\bar{\Psi}(iD\!\!\!\!/-m)\Psi,$$

man findet eine Strömung

$$J^{\mu}=\sum_{a=1}^{N}\left(\bar{\Psi}\gamma^{\mu}T_{a}\Psi\right)T_{a}$$

die kovariant konserviert ist, dh$D_{\mu}J^{\mu}=0$, nach seinen Bewegungsgleichungen. Beachten Sie, dass dieser Strom aufgrund der kovarianten Ableitung nicht lokal erhalten bleibt . Mit anderen Worten, es ist kein Noetherstrom.

Andererseits gibt es in QCD immer noch globale Symmetrien, dh Baryonenzahlerhaltung (dh global$U(1)$Symmetrie) und Geschmackszahlerhaltung usw.

Da @octonian dies erwähnte, sei betont, dass hier die aktuelle

$$J^{\mu}=\sum_{a=1}^{N}\left(\bar{\Psi}\gamma^{\mu}T_{a}\Psi\right)T_{a}$$

denn die nicht-Abelsche Eichtheorie ist nicht eichinvariant. Zunächst einmal kommt der Strom aus Bewegungsgleichungen

$$D_{\mu}F^{\mu\nu}=J^{\nu} \tag{1}$$ $$(iD\!\!\!\!/-m)\Psi=0 \tag{2}$$

wobei Gleichung (1) die Yang-Mills-Gleichung ist, die die nicht-Abelsche Version des inhomogenen Paares der Maxwell-Gleichungen ist. Unter einem$SU(3)$-Gauge-Umwandlung, man hat

$$F^{\prime}=UFU^{-1},\quad D^{\prime}=UDU^{-1},\quad\mathrm{and}\quad J^{\prime}=UJU^{-1},$$

was impliziert, dass die Bewegungsgleichungen unter der Eichtransformation invariant sind, dh

$$D^{\prime}\star F^{\prime}=J^{\prime}.$$

Die Kovariantenerhaltung von$J$lässt sich leicht überprüfen:

$$\begin{align} D\star J&=DD\star F \\ &=F\wedge\star F-\star F\wedge F \\ &=F^{a}\wedge\star F^{b}[T_{a},T_{b}] \\ &=F^{a}\wedge\star F^{b}f_{ab}^{\,\,\,\,c}T_{c} \\ &=\left\langle F^{a},F^{b}\right\rangle f_{ab}^{\,\,\,\,c}T_{c} \\ &=0, \end{align}$$

wo in der letzten Zeile die Tatsache, dass$f_{ab}^{\,\,\,\,c}$ist antisymmetrisch bzgl$a$Und$b$wurde verwendet.

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Um weitere Missverständnisse zu vermeiden, beachten Sie bitte, dass hier die Curvautre 2-Form ist$F=dA+A\wedge A$. Da es von @octonion im Kommentarbereich erwähnt wurde, sei das betont$F=0$bedeutet keine flache Verbindung$A=0$！ Dies gilt sogar für die abelsche Eichtheorie. Dies ist leicht verständlich, wenn man die Christoffel-Symbole in sphärischen Koordinaten der Minkowski-Raumzeit berechnet. Dass die Strömung$J$kovariant erhalten ist, ist eine spezielle Eigenschaft für die nicht-Abelsche Eichtheorie. Im Gegensatz dazu lautet in der abelschen Eichtheorie das inhomogene Paar der Maxwell-Gleichungen

$$\star d\star F=j,$$

und der Strom$j$ist immer lokal konserviert, dh$d\star j=0$, unabhängig davon, ob die Krümmung$F$verschwindet oder nicht.