Ist W=∮F⃗ .dr⃗ =0W=∮F→.dr→=0W=\oint{\vec{F}.d\vec{r}}=0 hinreichende Bedingung für konservative Kraft?

Das beweisen

$\oint \vec{F}\cdot d\vec{r}=0$

reicht aus, um festzustellen, dass die Kraft konservativ ist, wenn sie für alle möglichen Pfade gilt . Sie haben es nur für einen einzigen Weg bewiesen, nämlich den auf einem Kreis mit Radius$r$am Ursprung zentriert.

Je nach Kontext kann es einen effizienteren Weg geben, dasselbe Ergebnis zu beweisen, indem dieselbe Gleichung in der Differentialform anstelle der Integralform verwendet wird. Die Idee ist, das Stokes-Theorem zum Schreiben zu verwenden

$\oint \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int\limits_\Omega (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A},$

Wo$\Omega$ist die Fläche, die von dem geschlossenen Pfad der linken Seite eingeschlossen wird. Beachten Sie nun, dass die Gleichung auf der rechten Seite immer Null ist, wenn

$\nabla\times\vec{F}=0$

überall. Oft ist es viel einfacher, dies stattdessen zu beweisen.

Der Vollständigkeit halber gibt es noch eine dritte Möglichkeit. Eine konservative Kraft kann als Gradient eines Potentials geschrieben werden$\phi$, das ist

$\vec{F}=-\nabla\phi$.

Dies folgt aus der vorhergehenden Bedingung, da die Kräuselung eines Gradienten immer Null ist (solange die Funktion$\phi$sich gut benimmt, was Sie in einem Großteil des Physiklehrplans vermuten können.)

Lassen$\mathbf F\colon \Omega \subseteq \mathbb R ^d \to \mathbb R ^d$sei ein glattes Vektorfeld, definiert auf einer offenen Teilmenge von$\mathbb R ^d$. Betrachten Sie die drei folgenden Bedingungen.

1. Für jeden geschlossenen Weg$\gamma$In$\Omega$: $$\intop _{\gamma} \mathbf F \cdot \text d \mathbf s=0$$
2. Es existiert$\phi \colon \Omega \to \mathbb R$so dass$\mathbf F = -\nabla \phi$.
3. $$\nabla \times \mathbf F \equiv 0.$$

Es ist leicht, das zu zeigen$(2)\implies (1)$. Auch,$(1)\implies (2)$Wenn$\Omega$verbunden ist, denn in diesem Fall

Untersuchen wir die Beziehungen von$(1),(2)$mit$(3)$. Durch direkte Berechnung,$(2)\implies (3)$(Wenn$\phi$hinreichend regulär ist, zB wenn die zweiten Ableitungen stetig sind). Auch wenn$\Omega$verbunden ist, da$(1)\implies (2)$,$(1)\implies (3)$. Das möchte ich dir zeigen$(1)$folgt nicht aus$(3)$. Dies ist für Ihren Fall relevant. Lassen$\Omega = \mathbb R^2 - \lbrace 0 \rbrace$und lass

Das Problem hier ist das$\Omega$ist verbunden, aber nicht einfach verbunden . Wenn wir hier das Rotorkriterium verwenden würden, würden wir beispielsweise schlussfolgern, dass das Magnetfeld, das durch einen gleichmäßigen Strom in einem unendlichen Draht erzeugt wird, ein Gradient ist, was falsch ist. Allerdings eine schwächere Version von$(3)\implies (1),(2)$gilt: wenn$\nabla \times \mathbf F=0$, Dann$\mathbf F$lokal ist (z. B. in einer festen Kugel, die darin enthalten ist$\Omega$) einen Gradienten.

Es gibt drei äquivalente Kriterien für den Nachweis einer konservativen Kraft$\mathbf F$: Das Verschwinden der Locke von$\mathbf F$, das Linienintegral von$\mathbf F$um eine geschlossene Kurve, die Null ist, und die Existenz eines Skalarpotentials, das$\mathbf F$kann als Gradient von geschrieben werden. Jede davon impliziert die anderen beiden (und daher sind alle durch iff-Anweisungen verbunden).

Beispielsweise kann man sehen, dass die ersten beiden durch den Satz von Stoke zusammenhängen

Also, durch einfaches Berechnen der Locke von$\mathbf F$und sehend, dass es verschwindet, hättest du das auch demonstriert$\mathbf F$ist konservativ.