Kann der Arbeitsenergiesatz in diesem Fall angewendet werden?

Tatsächlich ist dies ein nicht-konservatives System und es gibt daher keinen Grund zu behaupten, dass die Energie, die von einem verloren geht, von dem anderen gewonnen wird; ein Teil davon wird an ihrer Grenzfläche als Wärme abgeführt worden sein.

Dies ist am einfachsten im Schwerpunktsystem zu sehen, wo der Impuls bei Null beginnt und endet. Wenn zwei Objekte zusammenkommen und dann aneinander haften, muss die kinetische Energie vor dem Stoß größer als Null gewesen sein und danach Null, da beide in diesem Bezugssystem ruhen müssen. Die Tatsache, dass sie in diesem Bezugssystem einen Gesamtimpuls von null haben müssen, bedeutet

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$$ was umgeschrieben werden kann als $v_2 = -(m_1/m_2) v_1$, ihre Relativgeschwindigkeit ist also $v_0 = v_1 - v_2 = \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)v_1 = -\left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)v_2.$Wenn Sie versuchen, diese Brüche tatsächlich zu addieren, wie wir es alle in der Schule gelernt haben, sehen Sie vielleicht, dass es eine interessante Masse gibt $M = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$entstehen hier, mit $v_0 = m_1~v_1/M = -m_2~v_2/M.$

Die verlorene Energie kann daher in diesem Schwerpunktsystem als abgeleitet werden

$$E_\text{loss} = \frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2 = \frac12 \left(\frac{M^2}{m_1} + \frac{M^2}{m_2}\right) v_0^2 = \frac12 M v_0^2,$$ wo ich die Tatsache verwendet habe, dass $\frac1M = \frac1{m_1} + \frac1{m_2}.$

Unterschiede in der kinetischen Energie sind referenzrahmenunabhängig, obwohl der absolute Wert der kinetischen Energie dies nicht ist, also muss Ihre tatsächliche Energiebilanz in dem Rahmen, an dem Sie interessiert sind (mit Ihrem$M$dass ich anrief$m_2$, nicht der$M$Ich habe oben verwendet)

$$\frac12 m v_0^2 =\frac12 m v^2 + \frac 12 M v^2 + \frac 12 \frac{m M}{m + M} v_0^2.$$ Von diesem ist man nur einen kurzen Schritt entfernt $$\left(\frac{m}{m + M}\right)^2 v_0^2 = v^2$$ und damit das $v = \pm v_0 m/(m + M),$und es ist "offensichtlich", dass wir das +-Zeichen wählen.

Es ist jedoch viel einfacher, zu diesem Ergebnis zu gelangen, indem man anstelle einer Energiebilanz die Impulsbilanz erstellt,

$$m v_0 = (M + m) v,$$ was Ihnen dieses bestimmte Ergebnis direkt liefert, ohne diese harte Arbeit leisten zu müssen.

Sie haben einen Vorzeichenfehler gemacht. Die richtige Anfangsgleichung ist

$$\frac{1} {2} m (v_0^2 - v^2) = \frac{1} {2} M v^2$$ Links ist die Energie, die durch den kleinen Block verloren geht, rechts ist die Energie, die durch den großen Block gewonnen wurde. Dies setzt natürlich voraus, dass keine Energie durch Reibung dissipiert, sondern nur übertragen wird, was unwahrscheinlich ist.