Welche Arbeit wird verrichtet, wenn sich ein Objekt auf einer Kreisbahn bewegt? (Nicht in Kreisbewegung)

Für diese Antwort gehe ich davon aus, dass die Person mit einer Kraft auf die Kiste drückt$F$in Bewegungsrichtung (Tangente zum Kreis).

Die geleistete Arbeit wird durch gegeben

$$W = \int \vec F \cdot d\vec s$$ Wo$\vec F$ist die aufgebrachte Vektorkraft und$d \vec s$ist die infinitesimale Vektorverschiebung . Dies ist ein Pfadintegral .

Da sich die Richtung der Kraft ändert, können wir das Integral nicht einfach ändern in$|F||s|$. Die Gesamtverschiebung ist in diesem Fall, seit Sie zum Ausgangspunkt zurückgekehrt sind, genau null.

Wir müssen die Kraft und die Verschiebung an jedem Punkt entlang des Weges berücksichtigen (mit Kalkül). Glücklicherweise gibt es eine Vereinfachung, um den Kalkül zu vermeiden. Kommen wir zu den Polarkoordinaten.

$$\vec F = F_0 \hat \theta$$ $$d\vec s = r d\theta \, \hat \theta$$ So können wir kombinieren und integrieren$\theta$aus$0\to2\pi$. $$W = \int \limits_0^{2\pi} F_0 r d\theta \, (\hat \theta \cdot \hat \theta)$$ Der Vorteil dabei ist, dass in Polarkoordinaten$\vec F$Und$d \vec s$ sind konstant. Wenn wir eine Konstante integrieren, können wir zu einer einfachen Multiplikation vereinfachen: $$W = F_0 r \theta |_0^{2\pi}= F_0 r \times 2 \pi$$ Bemerkenswerterweise ist dies gerecht$F$mal die Gesamtpfadlänge$2\pi r$.

Non-Calc-Version : Die Arbeit ist die Summe von$\vec F \cdot \Delta \vec x$an jedem Punkt auf dem Pfad, wenn$\theta$ist der Winkel zwischen der Kraft und der Verschiebung (Bewegungsrichtung) und$\theta$konstant ist, dann ist die geleistete Arbeit$Fd\cos(\theta)$. Da hier die Kraft immer parallel zur Bewegungsrichtung wirkt, ist das gerecht$Fd$Wo$d$ist die Gesamtpfadlänge ($d=2\pi r$).

Zusammenfassung: Der Schlüsselpunkt hier ist das Skalarprodukt der Kraft und der Verschiebung an jedem Punkt entlang des Pfads . Wenn Sie die vom Boden ausgeübte Normalkraft berücksichtigen (die senkrecht zur Verschiebung der Kiste steht), hätte sie keine Arbeit an der Kiste geleistet.