Kann eine endliche Summe von Quadratwurzeln eine ganze Zahl sein? [Duplikat]

Kann die Summe einer endlichen Anzahl von Quadratwurzeln ganzer Zahlen eine ganze Zahl sein? Wenn ja, kann die Summe von zwei Quadratwurzeln ganzer Zahlen eine ganze Zahl sein?

Die Quadratwurzeln müssen irrational sein.

wie 9 + 16 = 7 ?
Wenn Sie nur ganze Zahlen wählen, die Quadrate anderer ganzer Zahlen sind, wird dies immer funktionieren, da ihre Quadratwurzeln ganze Zahlen sind und die Summe einer endlichen Anzahl von ganzen Zahlen eine ganze Zahl ist.
Ich denke, dieser Link ist eine ziemlich gute Antwort auf Ihre Frage. Es könnte jedoch auf einem Niveau sein, das für Sie zu fortgeschritten ist, da dies eine ziemlich natürliche Frage ist, die Sie relativ früh im Leben stellen, aber es erfordert einige wesentlich schwierigere Mathematik, um sie zu beweisen. Die direkte Ja/Nein-Antwort auf die Frage lautet „Ja, aber nur, wenn die Zahlen innerhalb der Quadratwurzeln bereits perfekte Quadrate waren“ oder äquivalent „Wenn Sie bereits alle Vereinfachungen vorgenommen haben, die Sie tun können, dann nein.“
Ich weiß nicht, ob dieser Blog ohne ein Art of Problem Solving-Konto angezeigt werden kann, aber eine verallgemeinerte Version dieses Problems mit einer Lösung finden Sie in diesem Blogbeitrag: artofproblemsolving.com/blog/80001
Siehe auch diese Antwort

Antworten (4)

Zumindest gibt es eine elementare Möglichkeit, das zu sehen, wenn A + B ist dann eine ganze Zahl A Und B sind perfekte Quadrate.

Vermuten A + B = C ∈ Z . Wenn C = 0 das Ergebnis ist trivial. Andernfalls erhalten wir das, wenn wir beide Seiten quadrieren

A + B + 2 A B = C 2
und deshalb A B muss ein perfektes Quadrat sein. Sagen wir A B = D 2 . Dann A = D 2 B Und
D B + B = C D + B = C B ,
So B ist ein perfektes Quadrat, und A muss es auch sein.

Leider lässt sich dieses Argument seit dem Quadrieren nicht auf offensichtliche Weise verallgemeinern A + B + C hilft nicht. Siehe Erics Antwort für den vollständig allgemeinen Beweis.
@ user7530 Quadrieren funktioniert für bis zu 4 Quadratwurzeln. Nehmen Sie zum Beispiel Quadrate auf beiden Seiten A + B = N − C .
b ist ein perfektes Quadrat ... oder c ist Null.
Sicher. Ich füge eine Bemerkung hinzu.

Nehme an, dass A , B , A + B ∈ Z .

( A + B ) ( A − B ) = A − B ∈ Z . Seit A − B = A − B A + B ∈ Q . Deshalb, A − B ist eine algebraische ganze Zahl und rational; daher, A − B ∈ Z .

Nächste, ( A + B ) + ( A − B ) = 2 A ∈ Z Und ( A + B ) − ( A − B ) = 2 B ∈ Z . Daher, A Und B sind algebraische ganze Zahlen und daher rational A , B ∈ Z .

Daher, A , B , A + B ∈ Z ⇒ A , B ∈ Z

Was meinst du mit "algebraischer Ganzzahl"? Ich verstehe nicht, wie du das sagen konntest A − B ist eine rationale Aussage zu sagen, dass es eine ganze Zahl ist.
Eine algebraische Zahl ist eine Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine algebraische ganze Zahl ist eine Wurzel aus einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten 1 als führender Koeffizient. Eine algebraische ganze Zahl, die auch rational ist, ist eine ganze Zahl (siehe diese Antwort ).
Ah okay danke! Das habe ich auch eher gedacht als gesagt A − B eine ganze Zahl ist, kann man sagen, es sei rational. Seit A entweder rational (ganzzahlig) oder irrational ist, erhalten Sie, dass es eine ganze Zahl sein muss.
Warum die Ablehnung? Als diese Antwort geschrieben wurde, betraf ein Teil der Frage (einschließlich des Titels) die Summe zweier ganzer Zahlen. Da dies ein viel einfacherer Teil der Frage ist, habe ich darauf geantwortet. Im Allgemeinen ist diese Frage viel schwieriger.

Ja. Zum Beispiel hat 8 zwei verschiedene Quadratwurzeln: 8 Und − 8 . Diese addieren sich zu Null, was eine ganze Zahl ist.

Dasselbe passiert mit Wurzeln höherer Ordnung in der komplexen Ebene. Wenn wir die Wurzeln einer Zahl addieren, erhalten wir Null. Das liegt daran, dass sie in der komplexen Ebene gleichmäßig verteilte Punkte auf dem Einheitskreis bilden, und wir können daher, wenn wir sie als Vektoren betrachten, leicht sehen, dass sie sich unter Addition aufheben.

Ich denke, das ist ein perfektes Beispiel. Warum die Ablehnung?
Viele Downvotings auf Stackexchange sind nur wütende Teenager, die sich aufführen.
Wenn diese richtige Antwort unbefriedigend ist, bearbeiten Sie die Frage bitte so, dass diese Antwort ausgeschlossen ist, und fügen Sie dann einen hilfreichen Kommentar unter der Antwort hinzu, um mich darüber zu informieren, dass die Antwort nicht mehr richtig ist. Ich werde die Antwort gerne löschen oder bearbeiten, wenn möglich.
Ich habe nicht abgelehnt, aber Ihre Antwort geht nicht auf die Frage ein. Das OP fragte, ob die Aussage „ A 1 , … , A N ∈ Z ⟹ ∑ ich = 1 N A ich ∉ Z " wahr ist oder nicht. Da − 8 niemals die Quadratwurzel einer ganzen Zahl ist, wirft Ihre Antwort kein Licht auf die Situation.
@JavaMan Das ist falsch. − 8 ist eine der beiden Quadratwurzeln von 8 , was eine ganze Zahl ist. ( − 8 ) × ( − 8 ) = 8 . Die Frage in ihrer jetzigen Form schließt negative Wurzeln nicht aus.
Wenn man pedantisch sein soll, dann gebe ich Ihnen recht. Dann wieder, wenn man pedantisch sein soll, die Gleichung 0 + 0 = 0 würde hier auch relevant erscheinen.
@JavaMan Das ist falsch. Die Frage ist so formuliert, dass sie ausschließt 0 , 1 Und 4 . Es sagt einfach "Die Quadratwurzeln müssen irrational sein." Die Mathematik verlangt von uns, pedantisch zu sein.
Fair genug, und dies ist meine letzte Bemerkung zu diesem Thema. Mathematik erfordert jedoch keine Pedanterie. Tatsächlich wird die Mathematik oft dadurch behindert. Solche Fragen wurden hier zum Beispiel behandelt.
Wenn eine Frage mit markiert ist algebra-precalculus, ist es vollkommen vernünftig anzunehmen, dass sich „Quadratwurzel“ auf die Hauptquadratwurzel bezieht .

Für zwei Summanden:

( A + B ) ( A − B ) = A − B .

Also sind entweder beide Faktoren irrational oder beide rational. Der zweite Fall kann nur eintreten, wenn A Und B sind perfekte Quadrate.

Kann eine endliche Summe von Quadratwurzeln eine ganze Zahl sein? [Duplikat]
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