Warum ändert sich ⌊n−−√⌋⌊n⌋\lfloor \sqrt{n} \rfloor um höchstens eins, wenn nnn erhöht wird?

Question

Warum ändert sich ⌊n−−√⌋⌊n⌋\lfloor \sqrt{n} \rfloor um höchstens eins, wenn nnn erhöht wird?

Radikale
Mathematik
Elementarzahlentheorie
Decken-und-Boden-Funktionen

Aaron Speedy

Ich habe mir die Funktion angesehen $f(n)=\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ , und mir ist aufgefallen, dass sich aufeinanderfolgende Nummern nie um mehr als unterscheiden $1$ . Warum oder warum nicht?

Luna145

Können Sie versuchen, an eine Zahl zu denken?

n

$n$ so dass

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ Und

\sqrt{n + 1}

$\sqrt{n+1}$ sich um mindestens zwei unterscheiden? Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu begründen; Betrachten Sie beispielsweise die Funktion

g (n) = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}

$g(n)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ . Wenn Sie zeigen können, ist diese Funktion immer kleiner als

2

$2$ , du bist fertig. Versuchen Sie vielleicht, das Maximum mit der Domain zu finden

R

$\mathbb{R}$ ? Nicht der einzige Weg, aber eine Idee.

Antworten (2)

Warum ändert sich ⌊n−−√⌋⌊n⌋\lfloor \sqrt{n} \rfloor um höchstens eins, wenn nnn erhöht wird?

Können Sie versuchen, an eine Zahl zu denken? $n$ so dass $\sqrt{n}$ Und $\sqrt{n+1}$ sich um mindestens zwei unterscheiden? Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu begründen; Betrachten Sie beispielsweise die Funktion $g(n)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ . Wenn Sie zeigen können, ist diese Funktion immer kleiner als $2$ , du bist fertig. Versuchen Sie vielleicht, das Maximum mit der Domain zu finden $\mathbb{R}$ ? Nicht der einzige Weg, aber eine Idee.

Markvs · Answer 1

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}= 1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\le 1/3$ Wenn $n\ge2$ Und $\le 1/2.4<.5$ Wenn $n\ge 1$ , also unterscheiden sich die ganzzahligen Teile um höchstens $1$ .

Selrach Dunbar · Answer 2

Die Quadratwurzelfunktion ist eine steigende, subadditive Funktion (subaddative Mittel $\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ ). Also für jede ganze Zahl $n$ :

\sqrt{N + 1} - \sqrt{N} \leq \sqrt{N} + \sqrt{1} - \sqrt{N} = 1.

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \leq \sqrt{n} + \sqrt{1} - \sqrt{n} = 1.$ Das heißt, die Differenz zwischen den Quadratwurzeln zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist immer höchstens 1.

Um Ihre Schlussfolgerung zu ziehen, beachten Sie dies für reelle Zahlen $x$ Und $y$ und wessen Unterschied ist $x-y \leq k \in \mathbb{N}$ , das stimmt auch $\lfloor x\rfloor - \lfloor y \rfloor \leq k$ .

Zusammen beweisen diese, dass Sie es bemerkt haben.

Warum ändert sich ⌊n−−√⌋⌊n⌋\lfloor \sqrt{n} \rfloor um höchstens eins, wenn nnn erhöht wird?

Aaron Speedy

Luna145

Antworten (2)

Markvs

Selrach Dunbar

Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form p=⌊n−−√+n+1−−−−−√⌋p=⌊n+n+1⌋p = \lfloor\sqrt{n} + \sqrt{n + 1} \rEtage.

Helfen Sie mit, den Beweis zu verifizieren, dass min(⌊N/2⌋,⌊(N+2)/p⌋)=⌊(N+2)/p⌋min(⌊N/2⌋,⌊(N+2)/p⌋ )=⌊(N+2)/p⌋\min \left({\lfloor{N/2}\rfloor, \lfloor{(N + 2)/p}\rfloor}\right) = \lfloor{(N + 2)/p}\rfloor für N≥pN≥pN \ge p

Quadratwurzel von quadratfreien Zahlen als Summe von Quadratwurzeln schreiben.

Wenn ⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋\lfloor{ab}\rfloor = \lfloor{a}\rfloor\lfloor{b}\rfloor

Kann eine endliche Summe von Quadratwurzeln eine ganze Zahl sein? [Duplikat]

Erzeugt ⌊p–√⌋⌊p⌋\lfloor \sqrt{p} \rfloor alle natürlichen Zahlen?

Beweisen Sie, dass (3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2(3a+3b) !(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2\frac{(3 a+3 b) !( 2 a) !(3 b) !(2 b) !}{(2 a+3 b) !(a+2 b) !(a+b) ! a !(b !)^{2}} ist eine ganze Zahl.

Beweis, dass ∑b−1i=1⌊abi⌋=∑a−1j=1⌊baj⌋∑i=1b−1⌊abi⌋=∑j=1a−1⌊baj⌋ \sum_{i=1}^{b -1} \left\lfloor \frac{a}{b}i \right\rfloor = \sum_{j=1}^{a-1} \left\lfloor \frac{b}{a}j \right\ rfloor

∑(p−1)2i=0[qip]+∑(q−1)2i=0[piq]=(p−1)(q−1)4∑i=0(p−1)2[qip] +∑i=0(q−1)2[piq]=(p−1)(q−1)4\sum_{i=0}^{\frac{(p-1)}{2}} [\ frac{qi}{p}] + \sum_{i=0}^{\frac{(q-1)}{2}} [\frac{pi}{q}] = \frac{(p-1) (q-1)}{4} für unterschiedliche ungerade Primzahlen p,qp,qp,q

Verallgemeinerung r(n2)=r(n)2,r(n2)=r(n)2,\,r(n^2) = r(n)^2,\, für r(n):=r( n):=\,r(n) := Kehre die Ziffern von nnn um