Erzeugt ⌊p–√⌋⌊p⌋\lfloor \sqrt{p} \rfloor alle natürlichen Zahlen?

Unser Algebralehrer gibt uns normalerweise eine Arbeit davon 20 − 30 Fragen für unsere Hausaufgaben. Aber jede Woche fordert er uns auf, alle Fragen zu beantworten, deren Nummer auf einem bestimmten Formular steht.

Letzte Woche waren es zum Beispiel alle Fragen zum Formular 3 k + 2 und die Woche davor war es 3 k + 1 . Ich habe meinen Lehrer gefragt, warum er immer die lineare Form von Zahlen verwendet ... Anstatt zu antworten, sagte er mir, ich solle bestimmen, welche Form von Zahlen der neuen Arbeit wir diese Woche lösen sollen.

Ich wollte ein wenig kreativ sein, also habe ich die Primzahlen verwendet und allen gesagt, sie sollen Zahlen in Form von machen ⌊ P ⌋ Wo P ist eine Primzahl. Damals konnte ich das Lächeln auf dem Gesicht unseres Lehrers nicht verstehen.

Alles war in Ordnung, bis ich mich entschied, die Hausaufgaben zu machen. Dann wurde mir klar, dass ich einen großen Fehler gemacht hatte. ⌊ P ⌋ generierte alle Fragen unserer Zeitung und meine Klassenkameraden wollten mich umbringen. Ich ging zu meinem Lehrer, um ihn zu bitten, das Formular zu ändern, aber er sagte, er würde es nur tun, wenn ich das lösen könnte:

Beweise das ⌊ P ⌋ erzeugt alle natürlichen Zahlen.

Was ich versucht habe: Angenommen, es gibt eine k für die es keine Primzahl gibt P Das ⌊ P ⌋ = k . Daraus können wir sagen, dass es zwei aufeinanderfolgende perfekte Quadrate gibt, sodass zwischen ihnen keine Primzahl liegt. Also, wenn wir das für jeden beweisen X Dazwischen gibt es eine Primzahl X 2 Und X 2 + 2 X + 1 wir sind fertig.

Ich habe versucht, Bertrands Postulat zu verwenden, aber es hat nicht funktioniert.

Ich würde mich über jede Hilfe von hier freuen :)

+1 für amüsanten Hintergrund. Außerdem können Sie \lfloorund \rfloorfür die Bodenfunktion verwenden ⌊ X ⌋ .
Ich denke, es ist immer noch eine Vermutung, ob zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadraten immer eine Primzahl steht.
Danke, ich habe sie in meiner Frage verwendet.
Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen sind unbegrenzt, aber ich weiß nicht, ob dies ausreicht, um zu garantieren, dass es zwischen aufeinanderfolgenden Quadraten keine gibt.
Olivier hat Recht, es ist immer noch ein ungelöstes Problem. Siehe auch hier
Wirklich schöne Geschichte! +1

Antworten (2)

Wenn wir beweisen, dass es für jedes x eine Primzahl dazwischen gibt X 2 Und X 2 + 2 X + 1 , wir sind fertig.

Das ist Legendres Vermutung , die ungelöst bleibt. Daher das breite Lächeln auf dem Gesicht Ihres Lehrers .

Aus Neugier erinnere ich mich, dass vor ungefähr einem Jahr (oder vielleicht zwei) ein Mathematiker beweisen konnte, dass zwischen zwei Primzahlen eine minimale Lücke besteht, aber ich kann sie im Internet nicht finden. Irgendeine Ahnung, was es war?
@user88595: War es Yitang Zhang ?
@Lucian: Ja, das ist es Prost
@CODE Jetzt müssen Sie nur noch die Legendre-Vermutung beweisen und fertig! Es ist nicht das erste Mal, dass dies passiert ist :-P en.wikipedia.org/wiki/George_Dantzig#Mathematical_statistics
@Ant Danke, dass du mich an Dantzigs Geschichte erinnert hast

Jede der akzeptierten Vermutungen über Siebe und zufallsähnliches Verhalten von Primzahlen würde vorhersagen, dass die Chance, Gegenbeispiele zu der Vermutung zu finden, in ( X 2 , ( X + 1 ) 2 ) schnell abnehmen mit X , da sie zufälligen Ereignissen entsprechen, die (bis auf logarithmische Faktoren) X Standardabweichungen vom Mittelwert und deren Wahrscheinlichkeiten werden sehr schnell unterdrückt. Dies macht den rechnerischen Beweis für die Vermutung zuverlässiger als nur die Tatsache, dass Millionen und Milliarden überprüft werden.

Erzeugt ⌊p–√⌋⌊p⌋\lfloor \sqrt{p} \rfloor alle natürlichen Zahlen?
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