∑(p−1)2i=0[qip]+∑(q−1)2i=0[piq]=(p−1)(q−1)4∑i=0(p−1)2[qip] +∑i=0(q−1)2[piq]=(p−1)(q−1)4\sum_{i=0}^{\frac{(p-1)}{2}} [\ frac{qi}{p}] + \sum_{i=0}^{\frac{(q-1)}{2}} [\frac{pi}{q}] = \frac{(p-1) (q-1)}{4} für unterschiedliche ungerade Primzahlen p,qp,qp,q

Lassen P Und Q sind verschiedene ungerade Primzahlen. Beweisen:

∑ ich = 0 ( P − 1 ) 2 [ Q ich P ] + ∑ ich = 0 ( Q − 1 ) 2 [ P ich Q ] = ( P − 1 ) ( Q − 1 ) 4

[ X ] ist die größte ganze Zahl kleiner oder gleich X

Es ist verwirrend, darüber nachzudenken, denn wenn wir ersetzen P = k Q + R , im Original haben wir es mit Begriffen wie zu tun N R P , was alles sein kann. Und ich bin mir nicht sicher, was getan werden kann, außer das zurück zu ersetzen

Sollen die Klammern die größte ganzzahlige Funktion darstellen?
@Robert Shore richtig. Ich habe das in bearbeitet

Antworten (2)

Dies ist einer dieser Sätze, bei denen die Algebra zunächst undurchsichtig und einschüchternd wirkt, aber mit dem richtigen Bild plötzlich alles glasklar ist.

Stellen Sie sich vor, Sie zeichnen das Gitter aus ganzzahligen Gitterpunkten in der Ebene und die Linie j = P X / Q .

Können Sie sich eine geometrische Interpretation für jede dieser beiden Summen vorstellen?

Ich präsentiere einen algebraischen Beweis anstelle eines geometrischen.

Beachten Sie, dass wir die Summe schreiben können als

∑ ich = 0 ( P − 1 ) / 2 [ Q ich P ] + ∑ ich = 0 ( Q − 1 ) / 2 [ P ich Q ] = ∑ ich = 0 ( P − 1 ) / 2 ∑ 1 ≤ J ≤ Q ich / P 1 + ∑ ich = 0 ( Q − 1 ) / 2 ∑ 1 ≤ J ≤ P ich / Q 1.

Wenn wir die erste Summation (Hauptwerkzeug) austauschen, erhalten wir

∑ ich = 0 ( P − 1 ) / 2 ∑ 1 ≤ J ≤ Q ich / P 1 + ∑ ich = 0 ( Q − 1 ) / 2 ∑ 1 ≤ J ≤ P ich / Q 1 = ∑ 1 ≤ J ≤ Q ( P − 1 ) 2 P ∑ P J Q ≤ ich ≤ P − 1 2 1 + ∑ ich = 0 ( Q − 1 ) / 2 ∑ 1 ≤ J ≤ P ich Q 1 = ∑ 1 ≤ J < Q 2 ∑ P J Q ≤ ich < P 2 1 + ∑ 1 ≤ ich ≤ Q − 1 2 ∑ 1 ≤ J ≤ P ich Q 1 = ∑ 1 ≤ J ≤ Q − 1 2 ∑ 1 ≤ ich ≤ P − 1 2 1 − ∑ 1 ≤ J ≤ Q − 1 2 ∑ 1 ≤ ich < P J Q 1 + ∑ 1 ≤ ich ≤ Q − 1 2 ∑ 1 ≤ J ≤ P ich Q 1 = ∑ 1 ≤ J ≤ Q − 1 2 ∑ 1 ≤ ich ≤ P − 1 2 1 − ∑ 1 ≤ J ≤ Q − 1 2 ∑ 1 ≤ ich < P J Q 1 + ∑ 1 ≤ ich ≤ Q − 1 2 ∑ 1 ≤ J < P ich Q 1 = ∑ 1 ≤ J ≤ Q − 1 2 ∑ 1 ≤ ich ≤ P − 1 2 1 = ( P − 1 ) ( Q − 1 ) 4

∑(p−1)2i=0[qip]+∑(q−1)2i=0[piq]=(p−1)(q−1)4∑i=0(p−1)2[qip] +∑i=0(q−1)2[piq]=(p−1)(q−1)4\sum_{i=0}^{\frac{(p-1)}{2}} [\ frac{qi}{p}] + \sum_{i=0}^{\frac{(q-1)}{2}} [\frac{pi}{q}] = \frac{(p-1) (q-1)}{4} für unterschiedliche ungerade Primzahlen p,qp,qp,q
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