Kann ich eine kombinierte Gleichung für die Geschwindigkeit des Sonnensegels ableiten?

Zuerst brauchen wir eine Gleichung für die Beschleunigung:

$$F = \frac{F_0}{R^2}$$

Zu beachten ist, dass dieser Gleichung ein Faktor fehlt (die Einheiten funktionieren nicht). Technisch,$F_0$muss multipliziert werden$1\ AU^2$, so heben sich die Einheiten richtig auf.

Geht man von einem optimalen Winkel aus, also:

$$A = \frac{F_0 \cdot 1AU^2}{M\cdot R^2}$$

Wo$M$ist die Masse unserer Sonde. Ihr zitiert$F_0$beträgt 8,25 µN pro Quadratmeter Segel. Also:

$$A = \frac{8.25\cdot 10^{-6} N/m^2 \cdot \text{Sail Area} \cdot 1 AU^2}{\text{Mass} \cdot R^2}$$

Wir müssen unsere konvertieren$\text{Sail Area}$zu$AU^2$um mit dieser Kraftgleichung zu arbeiten und Einheiten richtig aufzuheben.

Wir können dies jedoch umschreiben als:

$$A = \frac{K}{R^2}$$

Wo$K$ist nur eine Konstante basierend auf der$\text{Sail Area}$und$\text{Mass}$(Ich hätte verwendet$C$, aber besorgte Leute könnten es mit der Lichtgeschwindigkeit verwechseln).

$$K = \frac{8.25*10^{-6} N/m^2 \cdot \text{Sail-Area} \cdot 1 Au^2}{\text{Mass}}$$

Das bedeutet, dass wir uns mit Differentialgleichungen befassen müssen.

$$A = \frac{d^2R}{dt^2} = \frac{K}{R^2}$$

$$A = \frac{dV}{dT}$$

$$\frac{d^2R}{dt^2} = \frac{dV}{dT} = \frac{dV}{dR} \cdot \frac{dR}{dT} = \frac{dV}{dR} \cdot V$$

$$\frac{dV}{dR} \cdot V = \frac{K}{R^2}$$

Also

$$dv*V = \frac{K}{R^2} * dR$$

Unendlich integrieren

$$\frac{1}{2} V^2 = \frac{-k}{R} + P$$

$$V = \sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}$$

$P$ist eine additive Konstante, die wiederum versucht, die Verwendung zu vermeiden$C$. Unsere additive Konstante$P$hängt von unserer Startgeschwindigkeit ab$1 AU$. Wenn unsere Anfangsgeschwindigkeit ist$0$zum Beispiel,

$$\frac{1}{2} 0^2 = \frac{-k}{1 AU} + P$$

$$P = \frac{k}{1 AU}$$

Aber es wird basierend auf dieser Anfangsbedingung variieren.

Wir haben also einen Ausdruck für$V$basierend auf der Entfernung von der Sonne. Ich vermute jedoch, dass Sie eine Antwort in Bezug auf die zurückgelegte Zeit und nicht auf die zurückgelegte Entfernung wünschen (wenn nicht, sind wir fertig).

Also$V=\frac{dR}{dt}$Also

$$\frac{dR}{dt} = \sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}$$ $$\frac{dR}{\sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}} = dT$$

Integrieren

An diesem Punkt ist es schrecklich. Ich habe versucht, eine Arctan-Substitution durchzuführen, aber nichts schien zu funktionieren. Also habe ich es in Mathematica abgelegt.

T = (2*Sqrt[p]*Sqrt[p + k/r]*r - k*Log[k + 2*p*r + 2*Sqrt[p]*Sqrt[p + k/r]*r])/ (2*Sqrt[2]*p^(3/2))

An diesem Punkt müssten Sie auflösen$R$bezüglich$P$,$K$, und$T$. Etwas, das nicht wie ein Spaßangebot erscheint. Sie setzen das wieder in Ihre Geschwindigkeitsgleichung ein, um die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu erhalten.

Wenn jemand einen einfacheren Weg sieht, diese Mathematik zu beenden, lassen Sie es mich bitte wissen. Vielleicht kann es jemand anderes hier übernehmen.

Eigentlich läuft es im Grunde darauf hinaus$T = R-\ln{(R)}$als schreckliche Annäherung.

Das macht tatsächlich sehr viel Sinn. Anfangs werden wir etwas haben, das etwas quadratisch aussieht, aber wenn wir darüber hinausgehen$10 AU$oder so (hängt wirklich von Konstanten ab), es wird wirklich mehr oder weniger linear, wenn die Beschleunigung auf fast Null abfällt und wir nur mit Reisegeschwindigkeit fahren.

Google$x-\ln(x)$und verkleinern Sie das Diagramm ein wenig, um es zu sehen.

Die Entfernung ist also mehr oder weniger linear mit der Zeit, und$V$trifft auf eine Konstante, die wir anhand der Geschwindigkeitsgleichung finden können.

Wir können die Grenze von nehmen$V = \sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}$wie$R$geht ins Unendliche. Es wird

$$V = \sqrt{2P}$$

nähert sich unsere Geschwindigkeit asymptotisch. Mit dem Wert, den ich mir ausgedacht habe$P$früher mit den Startbedingungen.

$$\sqrt{\frac{-2k}{R} + \frac{k}{1AU}} = \sqrt{k \left(\frac{1}{1AU} - \frac{2}{R}\right)}$$

Einmal$\frac{2}{R}$ist weniger als ein Hundertstel von$\frac{1}{AU}$Wir haben mehr oder weniger unsere Endgeschwindigkeit erreicht (wir sind nur noch 1/10 davon entfernt).

So

$$\frac{2}{R} = \frac{1}{100 AU}$$

$$R = 50 AU$$

Was zufällig gerade jenseits von Plutos Orbitalentfernung liegt.

Irgendwie enttäuschend. Dies steht jedoch im Einklang mit der Literatur, die ich gelesen habe, dass Sonnensegel außerhalb unseres Sonnensystems kein effizientes Antriebsmittel sind. Dies ändert sich natürlich, wenn Sie eine Art Lasersystem darauf schießen lassen.