Kann jemand auf intuitive Weise verstehen, warum das Gaußsche Gesetz gilt?

Das Gaußsche Gesetz der Elektrostatik ist ein erstaunliches Gesetz. Es ist äußerst nützlich (was die Probleme betrifft, die dafür formuliert sind: D. Ich habe keine reale Problemlösungserfahrung mit der Anwendung des Gaußschen Gesetzes).

Allerdings verstehe ich nicht wirklich, warum es funktioniert. Meine Zweifel sind folgende:

In der Gott-Gleichung:

∮ S E → ⋅ D S → = Q e N C ϵ ∘

E → ist das Feld am Flächenelement D S → , und dieses Feld ist auf alle Gebühren in der Konfiguration zurückzuführen. Aber die Q e N C ist die algebraische Summe nur jener Ladungen, die in der Gaußschen Fläche eingeschlossen sind . Das heißt, auf den Nettofluss wirken sich nur die Ladungen aus, die sich innerhalb der Oberfläche befinden. Der Beitrag der externen Gebühren hebt sich irgendwie auf. Warum funktioniert das so?

Wenn ich viel fortgeschrittene Mathematik und Vektorräume und solche ausgefallenen Sachen wüsste, hätte ich diese Frage nicht gestellt. Ich suche nach einem intuitiven Weg, um seinen Beweis zu verstehen - wenn es möglich ist, ohne diese Tiefe der Mathematik zu verstehen. Ich kenne einige grundlegende Integrations- und Oberflächenintegrale und all das (sonst könnte ich das Gaußsche Gesetz natürlich nicht anwenden!). Also, wenn Ihre Antwort diese Dinge beinhaltet, wäre ich in Ordnung. Aber bringen Sie bitte nicht den Divergenzsatz usw. ein. Ich habe versucht, die Mathematik dahinter auf Wikipedia zu entschlüsseln, und habe nichts verstanden.

Soweit mein Verständnis reicht - "Oberflächenintegral ist das Integral, das Sie über eine Oberfläche übernehmen" (vielleicht ist es für einen Mathematiker äußerst naiv, aber hey! Ich bin kein Mathematiker - weit davon entfernt). Wenn wir beispielsweise Probleme im Gaußschen Gesetz lösen, konstruieren wir eine imaginäre Gaußsche Oberfläche, so dass wir einen gewissen Vorteil haben, wenn wir das elektrische Feld an jedem Punkt auf der Oberfläche finden. Jetzt wissen wir es E → in einem elementaren Bereich (Magnitude | D S → | , finde das Skalarprodukt E → ⋅ D S → und über die konstruierte Oberfläche integrieren.
Ich habe selbst daran gedacht, aber diese Seite ist nicht so aktiv wie diese, und ich glaube, ich werde hier bessere Antworten bekommen. Aber wenn mehr Leute darauf bestehen, werde ich die Frage dorthin migrieren.
@ParthThakkar Wie zufrieden sind Sie mit dem Gesetz der umgekehrten Quadrate von Coulomb ? Wenn Sie bereit sind, dies als Ausgangspunkt zu nehmen, ist dies leicht zu erkennen, während das elektrische Feld abnimmt R 2 , Oberfläche vergrößert sich um R 2 , sodass ihr Produkt konstant ist.
Ich fühle mich damit absolut wohl. Ich verstehe, dass das Gaußsche Gesetz für eine einzelne Ladung gut funktioniert. Aber was ich nicht verstehe, ist, warum die allgemeine Aussage gilt. Vielleicht verlange ich zu viel mit zu wenig Mathematikkenntnissen - keine Ahnung!
@Parth: Solange das Gesetz für eine einzelne Ladung gilt, funktioniert es auch für viele Ladungen, da jede Seite der Gleichung nur die Beitragssumme aller Ladungen in der Konfiguration separat ist. Kontinuierliche Ladungsverteilungen gehen dann nur noch an die Grenze.
OK. Ich glaube ich werde nicht richtig verstanden. Ich werde die Frage bearbeiten.
@ParthThakkar Ah, Ihre Hauptfrage lautet also speziell, warum wir die Beiträge von Ladungen außerhalb der geschlossenen Oberfläche zum Gesamtfluss ignorieren können. Ist das korrekt?
@DavidH Ja. Ich hätte in der ersten Version der Frage "nur" betonen sollen.
@DavidH: Und ich habe gerade die Antwort gesehen, die Sie auf diese Frage gepostet haben , aber ich bin damit nicht ganz einverstanden. Sie sagten: "... die Seite der eingeschlossenen Oberfläche mit austretenden Feldlinien ist weiter von der externen Ladung entfernt als die Seite mit "eintretenden" Feldlinien, und die Oberfläche nimmt um r2 zu ..." . Was ist, wenn ich einen Kegel habe, dessen kreisförmiger Bereich der Ladung zugewandt ist, und die Fläche, durch die das Flussmittel austritt, der schmale Teil ist?
@DavidH, natürlich hast du "Grob gesprochen" erwähnt (und das ist eine nette Art, wegzukommen: D), ich würde trotzdem gerne wissen, ob es mit der Mathematik, die ich weiß, eine weniger handwinkende Erklärung gibt (sogar wenig mehr ist gut - ich bin bereit zu recherchieren).

Antworten (3)

Ich kann Ihnen eine intuitive Ansicht eines Physikers geben.

Ladungen sind die Quellen und Senken für das elektrische Feld. Betrachten Sie den Extremfall, in dem das von der Oberfläche eingeschlossene Volumen leerer Raum ist, also keine Ladungen. Dann muss jede Feldlinie, die in das Volumen eintritt, das Volumen woanders verlassen. Somit ist das Integral des Feldes über die gesamte Fläche 0.

Wenn Feldlinien nur hineingehen, aber keine herauskommen, muss im Volumen eine negative Ladung vorhanden sein (Feldlinien enden auf negativen Ladungen), weil das Oberflächenintegral negativ ist. Umgekehrt, wenn sie nur herauskommen, muss innen eine positive Ladung vorhanden sein. Dabei spielt es keine Rolle, wo genau die Ladung im Volumen sitzt, denn irgendwo muss die gleiche „Menge an Feldlinien“ durch die Oberfläche kommen.

In meinem ersten Semester lehrten sie es uns tatsächlich, indem sie es mit Fischen verglichen, die durch ein geschlossenes Netz im Meer gehen, aber ich erinnere mich nicht, was sie als Analoga für die Senken und Quellen verwendeten. Wenn viele Fische aus Ihrem geschlossenen Netz kommen, muss sich im Grunde irgendwo eine Fischquelle im Inneren befinden.

Entschuldigung, wenn dies für diesen Teil von SE zu handgewellt ist.

Erstens, da sowohl das elektrostatische Feld als auch das Integral additiv sind , reicht es (intuitiv) zu sehen, dass das Gesetz für eine Punktladung entweder innerhalb oder außerhalb der Oberfläche gilt. Wir können uns vorstellen, die gesamte Ladung in der endgültigen Konfiguration nach und nach hinzuzufügen – wenn das Gaußsche Gesetz für jedes kleine Inkrement gilt, wird es auch für die Summe gelten.

Stellen wir uns also eine Punktladung vor und sehen, wie ihr Coulomb-Feld (das eine schöne einfache Form hat) zu ihrem Oberflächenintegral beiträgt. Betrachten wir insbesondere den Teil der Oberfläche, der innerhalb eines dünnen Kegels liegt, an dessen Spitze sich die Punktladung befindet. Das gesamte Integral ist dann die Summe der Beiträge für genügend solcher ("unendlich dünner") Kegel, um alle Richtungen abzudecken, aus denen wir auf die Punktladung schauen können.

Im allgemeinen Fall, wenn wir den Kegel dünn genug machen, sieht er einfach wie ein Strahl aus, wenn wir ihn von der Skala der Oberfläche aus betrachten. Wir können die Kegel/Strahlen ignorieren, die immer die Oberfläche berühren; sie sind zu wenige, um einen Nettobeitrag zu leisten, wenn wir ans Limit gehen. Nach Annahme überquert also jeder Kegel die Oberfläche eine wohldefinierte Anzahl von Malen – eine ungerade Anzahl, wenn sich die Ladung innerhalb der Oberfläche befindet, und eine gerade Anzahl, wenn sich die Ladung außerhalb der Oberfläche befindet.

Nun trägt jede Kreuzung zwischen dem Kegel und der Oberfläche genau gleich groß zum Oberflächenintegral bei (allerdings mit unterschiedlichen Vorzeichen, je nachdem, ob wir in die Oberfläche hinein oder aus ihr herausgehen), egal wo diese Kreuzung stattfindet. Da wir an die Grenze gehen, sieht der Kegel am Kreuzungspunkt wie ein Zylinder und die Oberfläche wie eine Ebene aus. Wenn die Kreuzung weit von der Punktladung entfernt ist, ist der Bereich der Oberfläche in der Kreuzung größer , aber das Feld ist genau um den richtigen Faktor schwächer , um dies aufzuheben - hier ist entscheidend, dass das Feld umgekehrt quadratisch ist, es würde für keine andere Form des Feldes funktionieren. Die Fläche der geschnittenen Fläche ist auch größer, wenn die Kreuzung unter einem schrägen Winkel erfolgt, aber das hebt sich genau durch das Kreuzprodukt im Integranden auf.

Wenn sich nun die Ladung außerhalb der Oberfläche befindet, überquert jeder Kegel die Oberfläche eine gerade Anzahl von Malen, die sich paarweise aufheben – also trägt jeder Kegel null zum gesamten Oberflächenintegral bei.

Befindet sich andererseits die Ladung innerhalb der Oberfläche, gibt es für jeden Kegel eine ausgehende Kreuzung mehr als eine eingehende - also trägt jeder Kegel proportional zu seinem Raumwinkel zum Oberflächenintegral bei. Alle unendlich kleinen Kegel zusammengenommen haben Raumwinkel, die sich zu addieren 4 π Steradianten, also ist das gesamte Oberflächenintegral gleich, egal welche Form die Oberfläche hat und wo sich darin die Ladung befindet. Sie ist natürlich auch proportional zur Stärke der Ladung, und die verschiedenen Proportionalitätsfaktoren werden dann in die subsumiert ϵ 0 per definitionem konstant.

Der Beitrag der externen Gebühren hebt sich irgendwie auf. Warum funktioniert das so?

Tatsächlich spielen alle Ladungen im Raum (auch außerhalb) eine Rolle, indem sie zur Bestimmung von beitragen E → die Sie auf der linken Seite der Gleichung sehen. Das Gesetz ist nur ein netter Weg, um Komplexität beim Umgang mit mehreren Anklagepunkten zu vermeiden.

Ich stimme zu, dass alle externen Gebühren dazu beitragen E → wie ich schon erwähnt habe. Wenn Sie den vorherigen Satz lesen - "Das heißt, auf den Nettofluss wirken sich nur die Ladungen aus, die sich innerhalb der Oberfläche befinden. Der Beitrag der äußeren Ladungen hebt sich irgendwie auf. Warum funktioniert das so? - dann würden Sie das wissen Mit Beitrag meinte ich den Beitrag zum Nettofluss.
Kann jemand auf intuitive Weise verstehen, warum das Gaußsche Gesetz gilt?
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