Kinetische Energie als πkBTπkBT\pi k_B T

Bei der Herleitung der Thermal De Broglie Wavelength auf Wikipedia stoße ich auf folgendes:

„Im nichtrelativistischen Fall ist die effektive kinetische Energie freier Teilchen E K = π k B T

https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_de_Broglie_wavelength

Sofern dies richtig ist, in welchen Fällen ist die kinetische Energie eines freien Teilchens π k B T und nicht 3 2 k B T ? Danke für Kommentare dazu.

Es scheint einige Widersprüche zu diesem Punkt zu geben, die ich nicht verstehen konnte. Bitte schau dir das an: i.imgur.com/8IAEQH2.jpg und das: i.imgur.com/Y7waIgP.jpg . Wenn Sie möchten, kann ich Sie auf die zwei verschiedenen Artikel verweisen, aus denen ich das habe, aber es ist offensichtlich, dass die durchschnittliche kinetische Energie eines Teilchens in den drei Fällen unterschiedlich ist. Ich werde warten, bis mir das jemand erklärt.

Antworten (2)

Der Grund für die Verwendung E K = π k B T ist, die "Quantenkonzentration" genau gleich zu machen λ T H − 3 (siehe Kittel und Kroemer, Thermal Physics S. 73). Die Quantenkonzentration ist ∫ D 3 k ( 2 π ) 3 e − E K ( k ) / k B T . In der Halbleitertheorie multipliziert man diese Größe mit dem Faktor 2 aus der Spinentartung und wendet sie auf Elektron- und Loch-Quasiteilchen mit durch das Material bestimmten effektiven Massen an, um die „thermisch effektive Zustandsdichte“ zu erhalten. N C Und N v .

...in welchen Fällen ist die kinetische Energie eines freien Teilchens...

Anmerkung: Der temperaturabhängige Ausdruck für die kinetische Energie ist keine Eigenschaft eines einzelnen Teilchens, sondern eines Ensembles.

Der 3 2 stammt aus einer statistischen Betrachtung von Freiheitsgraden eines mechanischen Partikelschemas. Der π kommt aus dem Wellenbild.

Unter Verwendung einer charakteristischen Masse und Energie, M bzw. E ' , Die Quantität P ' = M E ' hat die Impulseinheiten. Im Bereich der Thermodynamik ein Vielfaches von k B T sind Kandidaten für eine solche charakteristische Energie.

π wird in Ihre Theorie eingehen, sobald Sie die Erwartungswerte unter Annahme einer klassischen Dispersion/Energie-Impuls-Beziehung berechnet haben E ( P ) = P 2 2 M , bzw. P ( E ) = 2 M E . In einem kanonischen Ensemble ist eine charakteristische Eigendynamik gegeben durch

P ″ = ∫ − ∞ ∞ e X P ( − E ( P ) k B T ) D P = 2 M ( π k B T ) .

Oder, vor der Normalisierung, die Berechnung der Varianz ∼ ∫ − ∞ ∞ P 2 e X P ( − E ( P ) k B T ) D P wird einen Faktor erzeugen π . Ich bin mir nicht sicher über den Verdienst der Adoption π Als einzige proportionale Konstante habe ich noch nicht gesehen, wofür die Energie in Ihrer Anwendung verwendet wird / in was sie umgewandelt wird. So wie ich das sehe, könntest du sie auch in deine Temperaturskala aufnehmen.

Entschuldigung, nachdem Sie Ihre Antwort durchgesehen haben, sieht der Faktor genauso falsch aus wie zuvor. Es gibt keine Freiheit bei der Definition des Impulses, der Energie oder der absoluten Temperatur. Die rein numerischen Faktoren müssen bestimmt werden, und alles, was ich sehe, deutet darauf hin, dass de Broglie sie einfach falsch bestimmt hat. Ein durchschnittliches kugelsymmetrisches Teilchen eines idealen Gases trägt einfach E = 3 k T / 2 im Durchschnitt und die Tatsache, dass es auch als Welle bezeichnet werden kann, kann dieser Tatsache nicht widersprechen.
@LubošMotl: Sie müssen keine exakten Entropieausdrücke oder die absolute Temperaturskala verletzen. Überlegen Sie einfach k B ∗ ≡ π k B die Hilfskonstante. Einige wie k B = 1 und Elektronenvolt, und einige könnten finden ≈ 10 − 23 J / K und Kelvin oder "Pi-Kelvin" nützlich. Deshalb sagte ich, ich wüsste nicht, was der Verdienst wäre, einen anderen zu adoptieren 3.14 um Energie aus der Temperatur zu gewinnen. Ich habe OP gezeigt, wo π aufpoppen. Bei Erwartungswerten wird es sowieso herausspringen, wegen der Dichte ρ ∝ e − H / k B T wird normalisiert.
Tut mir leid, niemand hat es benutzt k B ∗ zuvor, also ist dies eindeutig eine neue Erfindung, die in keiner Weise die Fehler in irgendetwas beheben kann, das zuvor geschrieben wurde. Diese hektische Neudefinition verstärkt nur den Punkt, dass die ursprünglichen Autoren bei allen Koeffizienten der Ordnung eins einfach schlampig waren. Man kann Formeln schreiben, die bis zu Zahlen der Ordnung eins in Ordnung sind. Aber wenn man überall tatsächliche numerische Konstanten schreibt, sollten sie korrekt sein und nur eine numerische Konstante in jeder Gleichung ist korrekt.
@LubošMotl: Die Frage ist, ob es wichtig ist, solange Sie weiterhin eine Temperatureinheit verwenden, die sich formal von einer Energieeinheit unterscheidet. Sicher, Sie können den reduktionistischen Ansatz wählen und alle Faktoren mit der tieferen Theorie fixieren, aber "Ich habe nicht gesehen, in was die Energie (...) umgewandelt wird" und daher, wenn alle Größen in den Theorien dies seltsam erklären π , es kann dazu führen, dass keine Ergebnisse ruiniert werden. Ich stimme zu, dass es seltsam ist, dass ein Teilchen eine irrationale Energiemenge tragen sollte - ich befürworte es nicht. Aber anscheinend haben die Leute diese Menge schon seit einiger Zeit verwendet und es hat für ihren Gebrauch funktioniert.
Allgemeine physikalische Größen sind fast immer irrational – und fast nie rational (oder rationale Vielfache von Pi). Die Rationalität hängt wie der Wert von Einheiten ab. Keines dieser Dinge ist ein Problem. Das Problem ist, dass Energie, Impuls sowie Temperatur Größen sind, die genau definiert sind, einschließlich der numerischen Faktoren. Bei den Werten gibt es keine Unklarheiten. Es gibt keine Zweideutigkeiten über den Wert der Boltzmann-Konstante, solange man ihre Definition beibehält, und so weiter und so weiter. Sie versuchen nur, einen falschen Zahlenfaktor durch Nebelschichten zu überdecken.
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