Koaleszenztheorie – Wahrscheinlichkeit für kkk-Allele, dass ein Koaleszenzereignis vor t+1t+1t+1 Generationen aufgetreten ist

Aus diesem Lehrbuch

Unter dem Wright-Fisher-Modell der genetischen Drift und unter der Annahme, dass alle Allele neutral sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass k Allele hatte k unterschiedliche Elternallele der vorherigen Generation ist

P R ( k ) = ∏ ich = 1 k − 1 1 − ich 2 N ≈ 1 − ( k 2 ) 2 N

Die Chance, dass zwei Allele nicht verschmelzen T Generationen ist ( 1 − 1 2 N ) T , und die Chance, dass sie in der nächsten Generation verschmelzen, ist 1 2 N . Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Allele vor t+1 Generationen einen gemeinsamen Vorfahren hatten

1 2 N ( 1 − 1 2 N ) T ≈ 1 2 N e − T 2 N

Bis hierhin verstehe ich!

Die Wahrscheinlichkeit, dass die k Allele verschmelzen nicht für T Generationen, und dann verschmilzt ein Paar, um zu geben k − 1 Allele bei T + 1 Generationen vor ist wie folgt:

P R ( k ) T [ 1 − P R ( k ) ] ≈ ( k 2 ) 2 N e X P [ − ( k 2 ) 2 N T ]

Können Sie mir helfen, diesen letzten Teil zu verstehen? (sowohl der linke als auch der rechte Teil der Gleichung)

Antworten (1)

Ist das der genaue Text aus dem Buch? Die linke Seite scheint die Wahrscheinlichkeit für darzustellen

"Keine Koaleszenz in k Zeilen ein T Generationen (dh die P R ( k ) T Laufzeit) und mindestens eine Koaleszenz zwischen diesen Linien in der Generation T + 1 (Die 1 − P R ( k ) Begriff)"

das ist das gleiche Ereignis wie

"Erstes Koaleszenzereignis in k Linien ist genau in Generation T + 1 ".

Die rechte Seite wird analog zur zweiten Gleichung mit abgeleitet 1 − 1 2 N ("keine Koaleszenz in zwei Linien") ersetzt durch 1 − ( k 2 ) 2 N (Näherung für „keine Koaleszenz in k Linien):

P R ( k ) T [ 1 − P R ( k ) ] ≈ ( 1 − ( k 2 ) 2 N ) T [ 1 − 1 + ( k 2 ) 2 N ] ≈ exp ⁡ ( − ( k 2 ) 2 N T ) ( k 2 ) 2 N

Wo dies in erster Näherung liegt, ergibt sich aus Ihrer ersten Berechnung. Der zweite scheint eine Tailor-Approximation erster Ordnung zu verwenden exp ⁡ ( X ) :

exp ⁡ ( − X T ) = e X P ( − X ) T ≈ ( 1 − X ) T

+1 Ok, ich habe die Idee. Nein, das ist nicht exakt derselbe Text wie im Buch. Ich habe es zusammengefasst. Vielen Dank für Ihre Antwort. Die Antwort wäre perfekt, wenn Sie das einfach zeigen könnten
1 2 N ( ∏ ich = 1 k − 1 1 − ich 2 N ) T ≈ ( k 2 ) 2 N e X P [ − ( k 2 ) 2 N T ]
Ich habe meine Antwort erweitert, um die Gleichung zu zeigen. Ich habe diese Annäherung noch nie gesehen exp Vor...
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