Komplexe Spannung und Strom in stationärem Gleichstromkreis mit nichtlinearer Komponente

Question

Komplexe Spannung und Strom in stationärem Gleichstromkreis mit nichtlinearer Komponente

Vinicius ACP

Ich habe versucht, die folgende Schaltung zu lösen, die eine nichtlineare Komponente hat:

schematisch

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

B ist die nichtlineare Komponente mit folgender Charakteristik:

ich = {\begin{cases} 3 \cdot (v - 3)^{2} + 1, & v \geq 1 \\ 0, & v < 1 \end{cases}, [ich] = A | [v] = v

$i = \begin{cases} 3\cdot (v-3)^2 +1, & v \geq 1 \\ 0, & v < 1 \end{cases} ,\quad[\,i\,]=\mathrm A \,\,\,|\,\,\,[\,v\,]=\mathrm V$

Zuerst habe ich das Äquivalent von Thévenin gefunden, das von der nichtlinearen Komponente gesehen wird:

\begin{array}{cc} E_{T H} = 8 v & R_{T H} = 1.6 Ω \end{array}

$\begin{array}{c|c} E_{th}=8\mathrm{V} \quad & \quad R_{th}=1.6\mathrm{\Omega} \end{array}$ Dann haben wir bei KVL:

\begin{aligned} v & = 8 - v_{R} \\ = 8 - 1.6 \cdot ich \\ = 8 - 4.8 \cdot (v - 3)^{2} - 1.6 \\ ⟹ 4.8 v^{2} - 27.8 v + 36.8 = 0 \end{aligned}

$\begin{alignat}{1} v &= 8-v_R \\ &= 8-1.6\cdot i \\ &= 8-4.8\cdot (v-3)^2-1.6 \\ &\implies 4.8v^2-27.8v+36.8=0 \end{alignat}$ Wenn wir die obige Gleichung lösen, haben wir zwei Paar möglicher Antworten:

v_{1} \approx 2.0478 v ⟹ {ich}_{1} \approx 3.7201 A v_{2} \approx 3,7439 v ⟹ {ich}_{2} \approx 2.6602 A

$v_1 \approx 2.0478\mathrm{V} \implies i_1 \approx 3.7201\mathrm{A} \\ v_2 \approx 3.7439\mathrm{V} \implies i_2 \approx 2.6602\mathrm{A}$ Wenn

i = 0

$i=0$ wir haben

v = 8

$v=8$ , Aber

i = 0

$i=0$ nur wenn

v < 1

$v<1$ , also tritt diese Situation nie auf.

Zweitens habe ich versucht zu zeigen, dass Superposition für diese Schaltung nicht gültig ist. Da passierte etwas Seltsames für mich. Wenn die Stromquelle deaktiviert ist, haben wir die folgende Schaltung:

schematisch

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

Nochmals, von KVL, wir haben:

\begin{aligned} v & = 3.2 - v_{R} \\ = 3.2 - 1.6 \cdot ich \\ = 3.2 - 4.8 \cdot (v - 3)^{2} - 1.6 \\ ⟹ 4.8 v^{2} - 27.8 v + 41.6 = 0 \end{aligned}

$\begin{alignat}{1} v &= 3.2-v_R \\ &= 3.2-1.6\cdot i \\ &= 3.2-4.8\cdot (v-3)^2-1.6 \\ &\implies 4.8v^2-27.8v+41.6=0 \end{alignat}$ Wenn wir diese Gleichung lösen, haben wir die seltsamere Sache:

v_{1}^{'} \approx 2,8958 + J 0,5299 v ⟹ {ich}_{1}^{'} \approx 0,1901 - J 0,3312 A v_{2}^{'} \approx 2,8958 - J 0,5299 v ⟹ {ich}_{2}^{'} \approx 0,1901 + J 0,3312 A

$v_1' \approx 2.8958+j0.5299\mathrm{V} \implies i_1' \approx 0.1901-j\,0.3312\mathrm{A} \\ v_2' \approx 2.8958-j0.5299\mathrm{V} \implies i_2' \approx 0.1901+j\,0.3312\mathrm{A} \\$

Meine Fragen:

Wie sind diese komplexen Spannungen und Ströme zu interpretieren? Wie kann ein stationärer Gleichstromkreis komplexe Spannungen und Ströme haben?
Ich habe versucht, beide Schaltungen in Multisim 14 zu simulieren. Für die erste habe ich nur das erste Ergebnispaar erhalten ( $v_1 \approx 2.0478\mathrm{V} \implies i_1 \approx 3.7201\mathrm{A}$ ). Wie bekomme ich das zweite Paar?
Beim Simulieren der zweiten Schaltung bekam ich einen Simulationsfehler ( "Berechnung des Übergangszeitpunkts konvergierte nicht. Simulation abgebrochen" ). Warum ist das passiert? Warum führt das einfache Entfernen der Stromquelle dazu, dass die Simulation fehlschlägt? Gibt es eine Möglichkeit, es zum Laufen zu bringen?

_{Hinweis: Für die nichtlineare Komponente habe ich NON_IDEAL_RESISTOR verwendet, den einzigen mit der Option "Current = f(voltage)".}

Multisim 14 Protokoll

======= SPICE-Netzlistenprüfung abgeschlossen, 0 Fehler, 0 Warnung(en) =======
Transientenzeitpunktberechnung konvergierte nicht
Simulation abgebrochen

Ausgabe der Instrumentenanalyse
| | Dynamisches Gmin-Stepping starten
| | Dynamisches Gmin-Stepping fehlgeschlagen
| | Dynamisches Source-Stepping starten
| | Dynamisches Source-Stepping fehlgeschlagen
| | DC-Arbeitspunkt ausgefallen. Resimulieren mit UIC
| | TRAN: Zeitschritt zu klein; Anfangszeitpunkt: Probleme mit Knoten $2
| | Fehler: doAnalyses: Zeitschritt zu klein (Transientenzeitpunktberechnung | | nicht konvergierend)
| | trans Simulation(en) abgebrochen (Simulation abgebrochen)

jonk

Ich kann eine Antwort geben, die befriedigend sein kann. Aber ich würde die Knotenanalyse verwenden. Macht es dir etwas aus? Es kann helfen, besser zu sehen, indem man scheinbar zufließende und abfließende Strömungen voneinander trennt. Aber ich würde KCL verwenden, um es zu veranschaulichen. Wenn ich auf diese Weise an die Sache herangehe, können Sie sehen, dass die Überlagerung immer noch funktioniert.

Vinicius ACP

@jonk Kein Problem, Jonk, antworte gerne mit der Knotenanalyse.

Mitu Raj

eleceng.dit.ie/kgaughan/notes/DT022%20Electrical%20Engineering/… -- Komplexe Darstellungen haben präzise Bedeutungen

Vinicius ACP

@MituRaj Das Problem ist, dass in einem stationären Gleichstromkreis komplexwertige Spannungen und Ströme auftreten . (Es ist hier nicht der AC-Fall, deshalb weiß ich nicht, wie ich diese komplexen Werte interpretieren soll, die ich erhalten habe).

Antworten (2)

Komplexe Spannung und Strom in stationärem Gleichstromkreis mit nichtlinearer Komponente

Ich kann eine Antwort geben, die befriedigend sein kann. Aber ich würde die Knotenanalyse verwenden. Macht es dir etwas aus? Es kann helfen, besser zu sehen, indem man scheinbar zufließende und abfließende Strömungen voneinander trennt. Aber ich würde KCL verwenden, um es zu veranschaulichen. Wenn ich auf diese Weise an die Sache herangehe, können Sie sehen, dass die Überlagerung immer noch funktioniert.
@jonk Kein Problem, Jonk, antworte gerne mit der Knotenanalyse.
eleceng.dit.ie/kgaughan/notes/DT022%20Electrical%20Engineering/… -- Komplexe Darstellungen haben präzise Bedeutungen
@MituRaj Das Problem ist, dass in einem stationären Gleichstromkreis komplexwertige Spannungen und Ströme auftreten . (Es ist hier nicht der AC-Fall, deshalb weiß ich nicht, wie ich diese komplexen Werte interpretieren soll, die ich erhalten habe).

jonk · Answer 1

Zunächst einmal möchte ich sagen, dass ich mit all Ihren früheren Analysen übereinstimme. Wir müssen also nicht viel Zeit dort verbringen. Aber ich werde es nachholen. Ich glaube auch, ich verstehe Ihre Frage, warum die Überlagerung noch funktionieren kann (oder vielleicht nicht, aber wenn nicht, warum nicht?)

Wenn Sie Superposition verwenden, summieren Sie getrennte Ergebnisse zusammen. Erlauben Sie mir also, einen Blick auf die gesamte Schaltung mit Knotenanalyse zu werfen, so gehandhabt, wie ich es immer bevorzuge (übrigens nicht wie es in Büchern gelehrt wird). Hier platziere ich alle einfließenden Ströme rechts und die abfließenden Strömungen auf der linken Seite. (Ich mache es so, nicht weil ich wusste, dass Ihre Frage eines Tages eintreffen würde, sondern weil es mir hilft, dumme Rechenfehler zu vermeiden.) Nennen wir die spezielle Spannung $V_x$ anstatt $v$ einfach weil mir heute danach ist:

\begin{matrix} (Vollständige Lösung) & \frac{v_{X}}{1.6 Ω} + [3 {(v_{X} - 3 v)}^{2} + 1 v^{2}] \cdot \frac{1}{v Ω} = 3 A + \frac{3.2 v}{1.6 Ω} \end{matrix}

$\frac{V_x}{1.6\:\Omega}+\left[3\left(V_x-3\:\text{V}\right)^2+1\:\text{V}^2\right]\cdot\frac{1}{V\,\Omega}=3\:\text{A}+\frac{3.2\:\text{V}}{1.6\,\Omega}\label{full}\tag{Full Solution}$

Ich werde das nicht lösen. Das hast du schon getan. Aber ich möchte auf ein paar kleine Details hinweisen, bevor ich fortfahre. Beachten Sie, dass ich Ihren Ausdruck für den Strom mit den erforderlichen Einheiten multipliziert habe, die zum Umwandeln in Ampere erforderlich sind. Dies ist aus Gründen der Dimensionsanalyse erforderlich, und Sie sollten immer ein sehr hohes Bewusstsein für die Dimensionen haben, die jedes Mal, wenn Sie eine Gleichung oder einen Ausdruck aufschreiben, funktionieren. Es ist wichtig. Eine andere zu untersuchende Sache ist, dass ich die abfließenden Ströme links und die einfließenden Ströme rechts platziert habe.

Lassen Sie uns nun mit Ihrem Fall fortfahren, in dem Sie die Stromquelle auf der linken Seite eliminieren und die Spannungsquelle beibehalten. Was ist die neue Gleichung?

\begin{matrix} (\neg Aktuell) & \frac{v_{X}}{1.6 Ω} + [3 {(v_{X} - 3 v)}^{2} + 1 v^{2}] \cdot \frac{1}{v Ω} = \frac{3.2 v}{1.6 Ω} \end{matrix}

$\frac{V_x}{1.6\:\Omega}+\left[3\left(V_x-3\:\text{V}\right)^2+1\:\text{V}^2\right]\cdot\frac{1}{V\,\Omega}=\frac{3.2\:\text{V}}{1.6\,\Omega}\label{i}\tag{$\neg$ Current}$

Was ist, wenn wir die Spannungsquelle eliminieren, kurzschließen und die Stromquelle beibehalten?

\begin{aligned} (\neg Stromspannung) & \frac{v_{X}}{1.6 Ω} + [3 {(v_{X} - 3 v)}^{2} + 1 v^{2}] \cdot \frac{1}{v Ω} & = 3 A \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{V_x}{1.6\:\Omega}+\left[3\left(V_x-3\:\text{V}\right)^2+1\:\text{V}^2\right]\cdot\frac{1}{V\,\Omega}&=3\:\text{A}\label{v}\tag{$\neg$ Voltage} \end{align*}$

Wenn Sie sich diese drei Gleichungen ansehen, können Sie leicht erkennen, dass in allen drei Fällen die ausgehenden Stromausdrücke alle identisch sind. Sie ändern sich kein bisschen. Allerdings ändern sich die einfließenden Stromausdrücke und müssen addiert werden. In diesem Sinne funktioniert die Superpositionsregel immer noch.

Sie können dies auch verwenden, um zu argumentieren, dass dies nicht der Fall ist und dass der Grund dafür darin besteht, dass die Schritte zur Eliminierung der Quelle weder die abfließenden noch die einfließenden Ströme verändert haben .

Ich wollte dich nur ein wenig umstimmen. Es ist vielleicht keine befriedigende Antwort. Aber dann könnte es auch so sein. So habe ich mir das Thema vorgestellt und hoffentlich ist etwas davon rübergekommen.

Hier ist der Schaltplan und die Gewürzkarten, die ich verwendet habe:

Und hier sind die Ergebnisse, die nach dem Lauf angezeigt werden:

Es war nicht schwer zu überprüfen. Der .MEAS-Befehl kann auf verschiedene Weise ausgeführt werden. In diesem Fall habe ich nur gesagt, dass es den Durchschnittswert nehmen soll – aber es wäre dasselbe gewesen, wenn ich während der .TRAN-Simulation an anderer Stelle nach dem Maximum, Minimum oder einem anderen Wert gefragt hätte.

Sie können sehen, dass ich die berechneten Spannungslösungswerte (mit einer lächerlichen Genauigkeit) ausgewählt und dann einfach die Simulation zweimal ausgeführt habe, um zu sehen, wie hoch die Ströme sind. Es stellt sich heraus, dass dies die Werte sind, die auch von Ihrer Formel vorhergesagt würden. Das bestätigt also tendenziell, dass sich das B -Gerät richtig verhält. (Wenn ich Nichtlösungswerte für die Spannung wähle, würden die Ströme natürlich wahrscheinlich nicht der von Ihnen angegebenen Formel folgen.)

Diese Simulationsdemonstration beweist nicht, dass es keine anderen Lösungen gibt. Und es gibt andere Möglichkeiten, die ich hätte versuchen können, um LTspice automatisch die Lösung finden zu lassen (unter Verwendung eines Modells, das ich erstellen und dann zum Beispiel .IC-Anfangsbedingungen einrichten würde, aber nicht das einzige Beispiel.) Aber es zeigt, dass Ihre Lösungen zwei Lösungen sind, die die erwarteten Ergebnisse liefern.

Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; diese Konversation wurde in den Chat verschoben . Alle erzielten Schlussfolgerungen sollten in die Frage und/oder die Antwort(en) zurückbearbeitet werden.

G36 · Answer 2

G36

Um zu sehen, warum Sie die Lösung im zweiten Fall nicht erhalten, können wir eine Lastlinienmethode verwenden und sie in der Grafik darstellen.

Wie Sie sehen können, existiert der Schnittpunkt nicht. Daher existiert in einer Welt mit reellen Zahlen keine Lösung.

Vinicius ACP

Aber was ist die Interpretation der komplexen Spannungen und Ströme, die ich bekomme? Haben sie eine physikalische Bedeutung?

Tony Stewart EE75

Die komplexen Zahlen bedeuten, dass Sie früh in KVL einen Fehler gemacht haben und diese Antwort für v > 3 V falsch / unvollständig ist

Tony Stewart EE75

versuchen Sie v = 3,744, dann i {= 2,66} + 0,34 = 3A

Vinicius ACP

@TonyStewartSunnyskyguyEE75 Welcher Fehler? Ich habe es einfach angewendet:

- 3.2 + v_{R} + v = 0 ⟹ v = 3.2 - v_{R}

$-3.2+v_R+v = 0 \implies v = 3.2 - v_R$

Tony Stewart EE75

Stecken Sie meine Antwort ein und Sie werden sehen, dass Ihre KCL-Aussage nicht richtig ist

Vinicius ACP

@TonyStewartSunnyskyguyEE75 Ok.

v = 3.744 v ⟹ ich \approx 2.66 A \begin{aligned} v & = 8 - v_{R} \\ v & = 8 - 1.6 \cdot ich \\ v & = 8 - 1.6 \cdot 2.66 \\ 3.744 & = 3.744 \end{aligned}

$v=3.744 \mathrm V \implies i \approx 2.66 \mathrm A \\ \begin{alignat}{1} \\ v &= 8-v_R \\ v &= 8-1.6 \cdot i \\ v &= 8-1.6 \cdot 2.66\\ 3.744 &= 3.744 \end{alignat}$ Ohne das Äquivalent von Thévenin zu verwenden:

\begin{aligned} v_{R} & = v - 3.2 \\ 1.6 \cdot {ich}_{R} & = 3.744 - 3.2 \\ 1.6 \cdot (3 - 2.66) & = 0,544 \\ 1.6 \cdot 0,34 & = 0,544 \\ 0,544 & = 0,544 \end{aligned} 3.2 + 0,544 = 3.744 = v

$\begin{alignat}{1} v_R &= v-3.2\\ 1.6 \cdot i_R &= 3.744-3.2 \\ 1.6 \cdot (3-2.66) &= 0.544 \\ 1.6 \cdot 0.34 &= 0.544 \\ 0.544 &= 0.544 \\ \end{alignat} \\3.2+0.544=3.744=v$ Ich kann diese Werte nicht anwenden

v = 3.2 - v_{R}

$v=3.2-v_R$ weil sie keine Lösungen von sind

4.8 v^{2} - 27.8 v + 41.6 = 0

$4.8v^2-27.8v+41.6=0$ Also, wo ist der Fehler?

Vinicius ACP

@ G36 Also funktioniert diese Schaltung in einer "Realzahlenwelt" einfach nicht? Ich meine, wenn ich die zweite Stromkreissituation habe, wird der gesamte Stromkreis "aus" oder so ähnlich sein?

Tony Stewart EE75

Es funktioniert, aber der stationäre Zustand ist rechts von seiner Kurve. Aber der Thevenin scheint nicht zu funktionieren. Das Norton-Äquivalent mit 5 A // 1,6 Ohm funktioniert

Komplexe Spannung und Strom in stationärem Gleichstromkreis mit nichtlinearer Komponente

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