Konfigurationsraum identischer Teilchen - fraktionale Statistik

In Khares Buch über fraktionale Statistik und Quantentheorie kommt er bei der Diskussion, warum wir fraktionale Statistik brauchen, zum KonfigurationsraumGeben Sie hier die Bildbeschreibung ein

für ein System aus zwei identischen Teilchen in D räumliche Dimensionen.
Q1: Ich sehe nicht, wie die zweite Gleichheit gerechtfertigt ist. ( P D − 1 ist der D − 1 dimensionaler realer projektiver Raum, und ⟨ 0 , ∞ ⟩ = ( 0 , ∞ ) − { 0 } ).

Später schreibt er folgendes:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

F2: Er scheint das anzudeuten ( R 2 − { 0 } ) / Z 2 = R P 1 . Aber in Wirklichkeit R P 1 = ( R 2 − { 0 } ) / ∼ mit X ∼ j wenn sie auf der gleichen Linie liegen. Vielleicht gibt es einen physikalischen Grund für diese Identifizierung ( R 2 − { 0 } ) / Z 2 = R P 1 ?

Ich habe eine ähnliche Frage bzgl R N / Z 2 unter math.stackexchange.com/questions/2832826/… . Ich teile deine Verwirrung.
Bitte sehen Sie sich meine Antwort an, ich hoffe, dass sie hilfreich ist. physical.stackexchange.com/questions/110458/…

Antworten (1)

Bezeichnen

M D := ( R D − { 0 } ) / { X ∼ − X }   .

Um Frage 2 zu beantworten: Damit die Gleichung (2.14) gilt, ist das nicht notwendig M D = R P D − 1 . Es reicht aus, wenn diese beiden Räume homotopieäquivalent sind, was sie auch sind. Betrachten Sie in der Tat eine Äquivalenzklasse [ X ] ∈ M D . [ X ] kann geschrieben werden als e λ [ X ^ ] , Wo λ ∈ R Und X ^ ist ein Einheitsvektor in R D . Betrachten Sie dann die folgende Karte:

F : [ 0 , 1 ] × M D ↦ M D   , ( T , e λ [ X ^ ] ) ↦ e ( 1 − T ) λ [ X ^ ]   .

Dann F ( 0 , ⋅ ) = Ausweis M D ( ⋅ ) , Aber F ( 1 , ⋅ ) Karten M D auf dem projektiven Raum.

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