Kraft als Gradient der skalaren potentiellen Energie

Mein Lehrbuch liest

Wenn auf ein Teilchen die Kräfte wirken, die konservativ sind; das heißt, wenn die Kräfte in Art und Weise aus einer skalaren Potentialenergiefunktion ableitbar sind F = − ∇ v .

Ich habe mich nur gefragt, was die Kriterien dafür sein könnten, dass Kraft als negativer Gradient der skalaren potentiellen Energie ausgedrückt wird, und WIE BEWEISEN WIR ES?

Das negative Vorzeichen wird hier erklärt: Schauen Sie unter Negative Signs in Potential nach .

Antworten (4)

Ihre Frage enthält fast den richtigen Suchbegriff für eine Antwort aus Wikipedia, "Conservative Forces", wodurch Sie zu http://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_Forces gelangen . Es gibt sogar das, wonach Sie fragen, einen Beweis. Es gibt auch einen weiteren Link zu http://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_vector_field , der einige ziemlich gute Visualisierungen enthält, die wahrscheinlich hilfreich sein werden. Grob gesagt darf es im Kraftfeld keine Wirbel geben, damit es eine skalare potentielle Energie gibt, die das Kraftvektorfeld als erzeugt ∇ ⋅ ϕ ( X ) .

Das Kraftfeld muss in der Tat konservativ sein, und dies ist das Kriterium für Ihre Fähigkeit, Kraft in Form von potentieller Energie auszudrücken. Um dies zu testen, sei ein Kraftfeld (der Einfachheit halber in 2D) gegeben durch

F = F ich + G J
Wo F Und G sind Funktionen von X , j dann das partielle Differential von F gegenüber j muss gleich dem partiellen Differential von sein G gegenüber X . Dies ist ein allgemeines Ergebnis in der Mathematik, um auf konservative Vektorfelder zu testen.

Bei einem einfachen Newtonschen Gravitationsfeld gilt

F = G M M X / ( X 2 + j 2 ) 3 / 2

Integrieren bzgl X Erträge − G M M / ( X 2 + j 2 ) 1 / 2 + C ( j ) , Wo C ( j ) ist die Integrationskonstante. Differenziert man dieses Ergebnis nach y ergibt sich G M M j / ( X 2 + j 2 ) 3 / 2 + D C ( j ) / D j . Gleichsetzen mit G lass uns rechnen D C ( j ) / D j = 0 und deshalb C ( j ) = C , Wo C ist eine Konstante unabhängig von X oder j .

Daher ist die potentielle Energie gegeben durch

E P = − G M M / ( X 2 + j 2 ) 1 / 2 + C

Das Minuszeichen ist einfach ein Ergebnis willkürlicher Definitionen, der Erdbeschleunigungsvektor ist so definiert, dass er nach unten zeigt (in Richtung des Massenmittelpunkts der Erde), der positive Abstand ist in Richtung nach oben definiert (oder vom Massenmittelpunkt der Erde weg zunehmend), Wir definieren die geleistete Arbeit als eine Zunahme der potentiellen Energie, positive geleistete Arbeit ist Kraft mal Entfernung; also braucht die Masse multipliziert mit einem negativen g nach unten mal einem positiven Abstand nach oben ein Minuszeichen, um die potenzielle Energie zu erhöhen.

Das ist die Definition einer Kraft. Meiner Meinung nach gehen wir von Energie, Raum, Impuls und Zeit als fundamental aus und bauen auf diesen Größen die Theorie der Mechanik auf.

Nein, das ist nicht die Definition von Gewalt. Als Gradient eines Potentials lassen sich nur bestimmte Kräfte darstellen. Darum ging es in der Frage.
Das ist nicht die Definition von Kraft, aber wenn man sie modifiziert, scheint die Antwort in Ordnung zu sein. Es ist nur so, dass wir die Vorstellung von Kraft aus Erfahrung aufgebaut haben, und auch von Energie. Dann wird OP-Expression für konservative Kräfte postuliert. Wie Leonar Susskind es nennt: „Prinzip der potentiellen Energie“.
Kraft als Gradient der skalaren potentiellen Energie
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