Kraft zum Stoppen eines sich bewegenden Seils vs. Stagnationsdruck einer Flüssigkeit

Deine Ableitung der Zusatzkraft auf der Skala für das fallende Seil ist falsch, beide Fälle liefern die gleichen Ergebnisse.

Wenn ich das richtig verstehe, vergleichen Sie die Wirkung eines Seils, das auf eine Waage fällt, mit dem ähnlichen Fall einer Flüssigkeit, etwa so schematisch:

Das Problem Ihrer Argumentation hängt mit einem Missverständnis des Stagnationsdrucks zusammen, der an diesem Problem nicht beteiligt ist. Sie haben einen Term der Bernoulli-Gleichung verwendet, der normalerweise dynamischer Druck genannt wird . Der Stagnationsdruck ist der Druck in einem beliebigen Punkt einer Flüssigkeit unter statischen Bedingungen, und es ist der maximal erreichbare Druck in einer inkompressiblen Flüssigkeit (siehe Standort Princeton ). Hier können Sie argumentieren, dass die Flüssigkeit bereits gefallen ist und im Gefäß diesen Druck hat, aber auf jeden Fall ist keiner dieser Drücke für Ihr Problem relevant: Das Fallen der Flüssigkeit ist völlig analog zum Fallen des Seils, und Ihre Ableitung sollte gleich sein, mit$\rho$anstatt$\lambda$.

Obwohl die Ausdrücke täuschend ähnlich sind, beziehen sie sich auf unterschiedliche Szenarien.

Wenn Sie nun Ihren Ausdruck herleiten, ist der grundlegende Hinweis darauf, dass das Obige nicht wahr ist, dass Sie die Arbeit finden, die in das Stoppen des Seils investiert wurde$mv_o^2$($v_o$ist die Anfangsgeschwindigkeit des Seils), was das Doppelte der Gesamtenergie (nur kinetisch) ist, die das Seil ursprünglich hatte.

Die Sache ist, dass Sie davon ausgehen, dass jeder Teil des Seils (der Masse$\lambda$) stoppt sofort, was bedeutet, dass es eine unendlich große Kraft gibt.

$$F_{\lambda}=-\frac{dp}{dt}= A \delta (t-t_o)$$ Wo $A$ist eine ständige Unbekannte, $t_o$ist die Zeit, in der die Kraft $F_{\lambda}$wirkt, und das negative Vorzeichen liegt daran, dass die Kraft, die das Seil stoppt, der Bewegung entgegenwirkt. Wir können diese Konstante finden, indem wir den Impuls gleichsetzen, der beim Stoppen eines Seilelements entsteht: $$J_{\lambda} = \int_0^{\infty} F_{\lambda} dt = A$$ und wir wissen, dass dieser Impuls dem Impulsverlust entsprechen muss $\Delta p_{\lambda} = \lambda \Delta x v_o$, wobei wir den Massenanteil des Seilbruchstücks als setzen $\Delta m = \lambda \Delta x$. Deshalb haben wir: $$J_{\lambda} = \int_0^{\infty} F_{\lambda} dt = A\int_0^{\infty} \delta (t-t_o) dt = A = \lambda \Delta x v_o$$ Der korrekte Ausdruck des Kraftelements auf der Waage (im Gegensatz zu dem auf dem Seil) ist also:

$$F_{\lambda}= \Delta m v_o \delta(t-t_o)$$

Einige wichtige Hinweise:

1) Hier dürfen wir uns nicht irren$\Delta x$im Zusammenhang mit$v_o$, da es die Seillänge ist, die der Seilmasse entspricht$\Delta m$. So$\Delta t = \frac{\Delta x}{v_o}$ist nicht die Zeit, in der die Kraft wirkt (es sei denn, wir gehen davon aus und das Problem ist ein anderes).

2) Die Maße stimmen, wenn man das bedenkt$\delta (t - t_o)$muss Abmessungen von haben$T^{-1}$seit$\int_0^{\infty} \delta (t-t_o) dt = 1$

3) Hier wird keine mechanische Arbeit geleistet$\int W dx = 0$da wir keine Verschiebung der Skala angenommen haben. Tatsächlich würde dies jedoch auch keine Verformung des Seils und keine Umverteilung des Wassers im Inneren des Glases bedeuten, um es zu füllen. In Wirklichkeit wurde also der Verlust an kinetischer Energie als Arbeit investiert, die mit der Verformung des Seils (und der Umverteilung von Wasser) verbunden ist, was, obwohl nicht offensichtlich zu berechnen, letztendlich nachgeben sollte$\frac {m v_o^2}{2}$die gesamte anfängliche kinetische Energie.