Kritische Verlangsamung in Monte Carlo (MC) Simulationen

Hier ist, was ich unter kritischer Verlangsamung verstanden habe.

Wenn wir uns in der Nähe eines Phasenübergangs befinden, die Autokorrelationszeit τ ist sehr lang.

Stellen Sie sich vor, wir führen MC-Simulationen in einer ferromagnetischen Nähe durch T C Wo T C ist die Temperatur des Phasenübergangs. Wir untersuchen das Beobachtbare M das ist die Gesamtmagnetisierung. Die Tatsache, dass τ lang bedeutet physikalisch, dass, wenn ich mich in einem Mikrozustand mit einer Magnetisierung weit von der durchschnittlichen Magnetisierung befinde, es eine lange Zeit (viele Schritte) dauern wird, bis die Simulation auf Mikrozustände mit einer Magnetisierung nahe der durchschnittlichen Magnetisierung zugreift.

Und da die Mikrozustände, die eine Magnetisierung nahe der durchschnittlichen Magnetisierung haben, eine größere statistische Bedeutung in der Berechnung haben, bedeutet dies, dass wir eine sehr schlechte Statistik haben werden, wenn wir nicht lange genug abtasten.

Meine Fragen:

  • Liege ich mit dieser Erklärung richtig?

  • Warum ist τ sehr lange in der Nähe eines Phasenübergangs? Ich bin mir nicht sicher, ob ich es bekomme.

  • Warum sind Clusteralgorithmen besser geeignet, um solche Probleme zu behandeln? Diese Frage wurde hier gestellt, aber nicht wirklich beantwortet.

Antworten (1)

1) In der Nähe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung ist die Korrelationslänge sehr groß, und es gibt Fluktuationen auf allen Skalen. Dies bedeutet, dass ein lokaler Algorithmus Schwierigkeiten haben wird, den Raum relevanter Konfigurationen effizient abzutasten. Die mittlere Magnetisierung kann tatsächlich mehr oder weniger korrekt sein, aber kompliziertere Observablen (höhere Momente von M, Korrelationsfunktionen usw.) sind schwer zu berechnen.

2) Betrachten Sie die Landau-Theorie der Phasenübergänge. Das freie Energiefunktional ist

F = ∫ D X [ κ ( ∇ M ) 2 + A M 2 + B M 4 + … ]
und die Korrelationslänge (in der ungeordneten Phase) ist ξ ∼ 1 / A . Beim Phasenübergang A → 0 Und ξ → ∞ . Schwankungen modifizieren die einfache mittlere Feldskalierung, und ξ ∼ 1 / T v Wo T ist die reduzierte Temperatur und v ist ein kritischer Exponent.

3) Um die Relaxationszeit untersuchen zu können, müssen wir die Landau-Theorie zeitabhängig machen. Dies führt zu einer hydrodynamischen Theorie, bekannt als Modell A. Die Bewegungsgleichung ist

∂ T M = − D δ F δ M
die Eigenmoden der Form hat ω k = ich D ( k 2 + A ) . Normalerweise ist die Relaxationszeit endlich, aber nahe dem kritischen Punkt A → 0 Und ω k ∼ ich k 2 , so dass Moden mit Wellennummer k ∼ 1 / ξ entspannen Sie sich über eine Zeit τ ∼ ξ 2 . Auch dies ist ein mittleres Feld und eine differenziertere Analyse ergibt τ ∼ ξ z mit einem kritischen Exponenten z.

4) Clusteralgorithmen führen Aktualisierungen auf allen Skalen durch und erfassen die Physik in 2),3) besser.

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