Künstliche Schwerkraft durch Verallgemeinerung des rotierenden Rades in einer räumlichen 4. Dimension

Ich nehme das Beispiel einer rotierenden Radraumstation , in der aufgrund der Trägheit im Inneren durch Rotation künstliche Schwerkraft entsteht.

Die Idee in der 3D-Umgebung ist, dass sich das Rad (2D) in Bezug auf eine dritte Achse (die senkrecht zur Radebene) dreht, so dass dieses Konzept für eine weitere Dimension verallgemeinert wird, das Rad wäre eine hohle Kugel und alles würde es tun in einer anderen Achse drehen, die senkrecht zu den anderen drei sein sollte.

Könnten Sie diese hohle Kugel (sehr groß, etwa 100 km Durchmesser) entwerfen, die sich in dieser 4. räumlichen Dimension dreht (vorausgesetzt, es gibt eine), so dass Menschen darin künstliche Schwerkraft spüren? Wäre das zumindest mathematisch sinnvoll?

Wenn ja, würden die Menschen im Inneren spüren, dass sich die Kugelform verändert?

Sie müssen natürlich zuerst beschreiben, wie die Gravitation in einem vierdimensionalen Raum funktioniert. Hinweis: Es ist nicht trivial.
Nun, ich weiß nicht, ob ich überhaupt die Schwerkraft brauche. Wenn diese Hohlkugel ein Raumschiff tief im Weltraum ist, wo die Schwerkraft vernachlässigbar ist, und Sie einfach durch Drehen ein Gefühl dafür schaffen wollen, dann ist es keine Schwerkraft, sondern nur Trägheit, richtig?
Sie brauchen die Schwerkraft, weil Sie diese simulieren möchten. Wenn wir nicht wissen, wie die Schwerkraft in einem vierdimensionalen Raum funktioniert, wissen wir nicht, was wir simulieren sollen.
Nur ein Kommentar, es ist völlig in Ordnung anzunehmen, dass die Dinge funktionieren, aber ich glaube nicht, dass Sie in 4 Dimensionen etwas als gegeben annehmen können. Können Menschen überhaupt existieren? Biomoleküle sind stark auf die richtige Geometrie angewiesen. Was ist ein 4d-Protein? Wie würde das überhaupt funktionieren? Nun, Sie müssen jetzt 4D-Quantenmechanik machen, Glückwunsch. Obwohl dies natürlich eine coole Idee ist, stößt man ziemlich schnell auf schrecklich komplizierte Probleme. Ich persönlich würde es ohne einen Doktortitel nicht anfassen. in Mathe, zumindest nicht in einem super ernsten Setup. Wenn es komödiantisch oder eine Hommage oder so etwas ist, wen interessiert das natürlich schon.
Um die Kommentare von AlexP und Raditz_35 zu untermauern, werfen Sie einen Blick auf physical.stackexchange.com/q/50142/79374 – der TL;DR ist, dass es in 4D keine stabilen Umlaufbahnen gibt. Wenn Sie also eine vierte räumliche Dimension haben, muss sich die Schwerkraft darin anders verhalten, sonst gibt es keine Sonnensysteme und Galaxien. Das öffnet jedoch ein Loch ins Wasser - wie sonst ist die vierte räumliche Dimension nicht die gleiche wie die anderen?

Antworten (1)

Dieses Setup würde nicht funktionieren, nicht einmal im mathematischen Sinne, zumindest so, wie Sie es beschrieben haben.

In vier Dimensionen können Sie sich nicht wirklich in Bezug auf eine Achse drehen. Stattdessen lässt eine 4D-Rotation entweder eine Ebene oder einen einzelnen Punkt invariant.

Genauer gesagt kann man sich eine Drehung in einem Raum beliebiger Dimension als aus einfachen Drehungen zusammengesetzt vorstellen. Es ist mathematisch ersichtlich, dass eine einfache Drehung einen zweidimensionalen Unterraum benötigt, in dem sie stattfinden kann (in 1D kann man nichts drehen). Das bedeutet, dass:

  • In 2D sind alle Drehungen einfach. Sie verlassen a 2 − 2 = 0 -dimensionale Unterrauminvariante, dh ein Punkt.

  • In 3D sind alle Drehungen einfach. Sie verlassen a 3 − 2 = 1 -dimensionale Unterrauminvariante (eine Rotationsachse).

  • In 4D kann eine Drehung einfach sein, wobei a zurückbleibt 4 − 2 = 2 -dimensionale Unterrauminvariante (eine Ebene), oder es kann eine doppelte Rotation sein , die aus zwei einfachen Rotationen besteht, wobei insgesamt a übrig bleibt 4 − 2 − 2 = 0 -dimensionale Unterrauminvariante (ein Punkt). Diese einfachen Rotationen können sogar unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten haben (bei gleicher Geschwindigkeit spricht man von einer isoklinen Rotation).

  • In 5D gibt es wiederum zwei Arten von Drehungen, die entweder einen 3D-Unterraum oder eine Achse unverändert lassen.

  • In 6D gibt es drei Arten von Rotationen...

...usw. Wenn wir zu Ihrem Setup zurückkehren, können wir zwei Fälle finden. Unter der Annahme (im Sinne Ihrer Frage), dass die invariante Ebene die zusätzliche vierdimensionale Achse enthält, würde sich die Kugel im ersten Fall normal wie die Erde drehen und zwei "Nord" - und "Süd" -Pole invariant lassen. Hier ist die zusätzliche Dimension überflüssig, unsere gewöhnliche 3D-Physik sagt uns bereits, was passieren würde: Es gäbe künstliche Schwerkraft in der Nähe des Äquators und keine Schwerkraft in der Nähe der Pole.

Im zweiten Fall verschwindet die Kugel fast immer aus dem Blickfeld und taucht nur periodisch zu bestimmten Zeitpunkten wieder auf, die von den Winkelgeschwindigkeiten der Rotation abhängen. Offensichtlich wäre dies als Raumstation jeglicher Art nicht machbar, da die gesamte Luft daraus schnell entweichen würde.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie nicht alle Punkte der Kugel gleichzeitig drehen können, während Sie sie in Ihrer 3D-Umgebung behalten.

Tatsächlich würde das Setup nicht funktionieren, egal wie viele zusätzliche Dimensionen man hinzufügt. Das liegt an dem sogenannten Hairy-Ball-Theorem . Dieses Theorem besagt, dass alle möglichen kontinuierlichen Tangentenvektorfelder auf einer Kugel irgendwann verschwinden müssen, und es wird manchmal im Volksmund gesagt: "Sie können einen haarigen Ball nicht kämmen, ohne mindestens einen Wirbel zu erzeugen".

Behaarter Ball mit zwei Wirbeln

Eine infinitesimale Drehung definiert ein glattes Vektorfeld auf der Kugel (Sie können sich einen kleinen Pfeil vorstellen, der an jedem Punkt angebracht ist und dorthin zeigt, wo er sich bewegen wird), und das Theorem impliziert dann, dass es mindestens einen Pfeil der Länge Null geben muss (das Mitte des "Cowlick"), was einen Punkt bedeutet, der sich nicht bewegt.

Danach ist meine Antwort eine Löschung wert.
Wow, ausgezeichnete Antwort! Ich nehme an, ich habe mich das insgeheim selbst schon seit einiger Zeit gefragt.
Einmal am Tag werde ich einen Weg finden, den Leuten zu sagen: „Du kannst keinen haarigen Ball kämmen, ohne mindestens einen Wirbel zu erzeugen“.
Mit anderen Worten, Sie können künstliche Schwerkraft erzeugen, aber egal wie viele zusätzliche Dimensionen Sie verwenden, es wird immer mindestens einen Punkt geben, an dem es noch keine künstliche Schwerkraft gibt?
Apropos isokline 4D-Rotation: Was wäre, wenn sich Luft und Passagiere ebenfalls in 4 Dimensionen drehen?
@RobWatts Ja, das wäre eine gute Zusammenfassung, denke ich.
@Kevin In diesem Fall würde die Kugel sicherlich nicht aus der Perspektive der Passagiere verschwinden, aber wenn ich mich nicht irre, gäbe es keine künstliche Schwerkraft, da die hypothetische Kraft, die die Rotation der Luft und der Passagiere verursacht, die Zentrifugalkraft aufheben würde ihr nicht inertialer Rahmen.
@pregunton: Wäre besagte Kraft nicht nur ein 4D-Analogon der Zentripetalkraft? In normalen 2D-Rotationsszenarien sehen wir eine solche Aufhebung nicht ...
Was ist, wenn das Ding ein Hypertorus ist? Dann können Sie das Vektorfeld gut kämmen, oder?
Ich denke, das ist eine „Ja“-Antwort. Sie können in 4D drehen. Wenn Sie in 2D drehen, gibt es einen Punkt in der Mitte, der keine Schwerkraft hat. Wenn Sie sich in 3D drehen, gibt es in der Mitte eine Linie mit Schwerelosigkeit. Wenn Sie sich in 4D drehen, befindet sich in der Mitte eine Ebene mit Schwerelosigkeit. Alles ist analog, und ich glaube nicht, dass es ein Problem gibt.
Künstliche Schwerkraft durch Verallgemeinerung des rotierenden Rades in einer räumlichen 4. Dimension
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