Lässt sich das Huygens-Prinzip streng mathematisch begründen?

Betrachten Sie den Ausdruck für die Fresnel-Beugung. Das elektrische Feld ist gegeben durch:

Im Wesentlichen ist dies die Überlagerung von Kugelwellen, die von Punktladungen ausgesandt werden, die entlang der gesamten Apertur platziert werden. Genau das ist das Huygens-Prinzip.

Die Maxwell-Gleichungen rechtfertigen eindeutig das Huygens-Prinzip, da die Fresnel-Beugungsformel eine direkte Folge der Wellengleichung ist, die eine unmittelbare Folge der Maxwell-Gleichungen ist.

Während in diesem linearen Fall ('linear' ist ein Schlüsselwort) das Huygens-Prinzip gerechtfertigt ist, bedeutet dies nicht, dass es notwendigerweise immer wahr ist.

Das Huygens-Prinzip ist nicht ganz richtig. Dies wird in Sommerfelds „Optik“ besprochen. Das Problem ist beispielsweise, dass für einen absorbierenden Schirm mit Löchern die Greens-Funktion, die für das Huygens-Prinzip verwendet wird, die Randbedingung nicht erfüllt. Man müsste Maxwells Gleichungen exakt lösen. Leider sind nur sehr wenige exakte Lösungen bekannt, auch eine von Sonmerfeld. Diese Lösung zeigt, dass die Abweichung vom Huygens-Prinzip nur in der Größenordnung von wenigen Wellenlängen von der Grenze liegt. Für eine moderne Darstellung der exakten Lösung können Sie auch auf Thirrings Einführung in die mathematische Physik verweisen.

Das Huygens-Prinzip kann streng als Aussage über die Singularitäten und Stützeigenschaften der Green-Operatoren der Wellengleichung formuliert werden. Um genau zu sein, ist eine Vorwärtslösung des inhomogenen Problems der Null-Anfangs-Cauchy-Daten eine glatte Lösung$\phi\in C^{\infty} (\mathbb{R}^4)$so dass:

A)$-\partial_{tt}\phi+\Delta\phi=f$

B)$\phi(0,x)=0$

C)$\partial_t\phi(0,x)=0$

für$f\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^4)$(glatte Quellen kompakter Unterstützung).

Dass eine solche Lösung$\phi$existiert, einzigartig ist und ständig in Bezug auf die Quelle abhängt, ist gleichbedeutend mit dem Zeigen von Gelassenheit. Einzelheiten können Sie diesem entnehmen .

Tatsächlich kann man einen ganzzahligen Kern definieren$G(t,x;s,y)$so dass

$\phi(s,y)=\int_{\mathbb{R}^{4}} G(t,x;s,y)f(t,x)$

$G(t,x;s,y)$entspricht dem Advanced Green Propagator. Die anderen beiden sind die Green-Operatoren, die mit dem Problem der Rückwärtsinhomogenität (verzögerte Green-Funktion) und dem Problem des homogenen Anfangswerts (kausaler Propagator) verbunden sind.

Mit Techniken der mikrolokalen Analyse oder durch explizites Finden$G(t,x;s,y)$das kann man zeigen$G(x,t;s,y)$verschwindet außer am vergangenen Lichtkegel der Punkt$(x,t)$dh$G(x,t;s,y)=0$wenn es keine vergangenheitsgerichtete Null-Geodäte dazwischen gibt$(x,t)$Und$(s,y)$. Beachten Sie, dass dies impliziert, dass die Singularunterstützung von$G$ist der vergangene Lichtkegel.

Sie können die explizite Formel hier sehen . Beachten Sie, dass die dort angegebene Formel nur ein Teil der vollständigen Formel für den kausalen Propagator ist und sich daher die singuläre Unterstützung von der oben beschriebenen unterscheidet. Eine genaue Formulierung ist Gleichung 4.5.4 in Friedlander

Außerdem sieht man an der Formel, dass die Einführung eines Massenterms das Huygens-Prinzip nicht gelten lässt.

Die Aussage, dass die Unterstützung von$G$ist nur der vergangene Lichtkegel von$(x,t)$kann als strenge Formulierung des Huygens-Prinzips verstanden werden.

In einer allgemein gekrümmten Raumzeit, dh wenn wir lösen$\square_g \phi=f$mit null Anfangsdaten auf einer Cauchy-Hyperfläche$\Sigma$auf einer global hyperbolischen Raumzeit$(\mathbb{R}\times\Sigma, g)$. Die Unterstützung von$G$ist die gesamte kausale Vergangenheit. Man kann jedoch immer noch zeigen, dass die singuläre Unterstützung von$G$ist nur der vergangene Lichtkegel.

Daher gilt im Allgemeinen das Huygens-Prinzip nicht. Man braucht bestimmte Bedingungen an die Geometrie von$g$. Das reicht aus$g$ist eine flache oder eine ebene Wellenraumzeit. Außerdem hängt das Prinzip von der Dimensionalität der Zeit ab. Zum Beispiel wenn$n$seltsam ist, ist das Prinzip ungültig. Genaue Nachweise finden Sie in Friedländer .

In Bezug auf seine Verbindung zu Maxwell-Gleichungen. Ich möchte mich zu folgendem äußern.

Ich habe das Prinzip für Skalarwellengleichungen angegeben. Man kann den Ansatz jedoch auf tensorielle Wellengleichungen verallgemeinern. Auf die gleiche Weise können Maxwell-Gleichungen bei geeigneter Eichwahl als tensoriale Wellengleichung formuliert werden.

Das Prinzip würde besagen, dass wir den Wert des elektromagnetischen Feldes an einem Punkt ablesen können$p$in flachen geraden Raumzeiten, indem man nur die Informationen des elektromagnetischen Feldes im vergangenen Lichtkegel des Punktes kennt$p$.

Das Versagen des Prinzips für gekrümmte oder ungerade flache Raumzeiten bedeutet, dass die Differenz zwischen dem Wert der Lösung und dem Wert einer Näherung, die nur Informationen über die Lichtkegel berücksichtigt, nicht Null ist. Darüber hinaus ist das einzigartige Verhalten von$G$am Lichtkegel impliziert, dass dieser Unterschied glatt in Funktion ist$(x,t)$. Wir können dies als die Aussage wiederholen, dass sich das einzigartige Verhalten des elektromagnetischen Feldes (die Orte, an denen es nicht glatt ist) mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegt. Das elektromagnetische Feld kann aufhören glatt zu sein, wenn man bedenkt, dass die Raumzeitmetrik oder die geladenen Verteilungen glatt sind.

Diese Unterschiede können verwendet werden, um die Inhomogenitäten eines Mediums zu charakterisieren.