Bedeutet die Fraunhofer-Beugung auch automatisch, dass gleichzeitig die Fresnel-Näherung erfüllt ist?

Question

Bedeutet die Fraunhofer-Beugung auch automatisch, dass gleichzeitig die Fresnel-Näherung erfüllt ist?

teeeee

Ich bin verwirrt über die Gültigkeitsregime für die Fresnel- und Fraunhofer-Beugungsnäherungen und würde mich über eine Klarstellung freuen. Nehmen wir an, wir interessieren uns für die Berechnung des Feldes $U_2(x,y)$ , bei einem bekannten Eingabefeld $U_1(\xi,\eta)$ im folgenden Koordinatensystem:

Das Rayleigh-Sommerfeld-Beugungsintegral ist eine allgemeine Lösung und gut, solange wir von der skalaren Beugungstheorie ausgehen und Entfernungen berücksichtigen, die viel größer als die Wellenlänge des Lichts sind ( $r_{01}\gg\lambda$ ):

\begin{matrix} (1) & U_{2} (X, j) = \frac{z}{ich λ} \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) \frac{exp (ich k R_{01})}{R_{01}^{2}} D ξ D η, \end{matrix}

$U_2(x,y) = \frac{z}{i\lambda} \iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\frac{\textrm{exp}(ik\,r_{01})}{r_{01}^2}\,d\xi\, d\eta\;, \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & Wo R_{01} = \sqrt{z^{2} + (X - ξ)^{2} + (j - η)^{2}} \end{matrix}

$\textrm{where}\hspace{0.5cm}r_{01} = \sqrt{ z^2 + (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 } \tag{2}$ ist die Entfernung vom Punkt

P_{1}

$P_1$ Zu

P_{0}

$P_0$ .

Fresnel-Näherung

Dies geschieht durch Anwenden einer Binomialentwicklung auf $r_{01}$ , und behalten nur die ersten beiden Terme zur Annäherung bei $r_{01}$ im Exponential zu sein

\begin{matrix} (3) & R_{01} = \sqrt{z^{2} + (X - ξ)^{2} + (j - η)^{2}} \approx z [1 + \frac{1}{2} (\frac{X - ξ}{z})^{2} + \frac{1}{2} (\frac{j - η}{z})^{2}] . \end{matrix}

$r_{01} = \sqrt{ z^2 + (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 } \;\approx z \;\Bigg[ 1 + \frac{1}{2}\bigg(\frac{x-\xi}{z}\bigg)^2 + \frac{1}{2}\bigg(\frac{y-\eta}{z}\bigg)^2 \Bigg]. \tag{3}$ Wir schätzen auch

r_{01}^{2} \approx z^{2}

$r_{01}^2\approx z^2$ im Dämoninator von Gl. (1), um das Fresnel-Integral zu erhalten

\begin{aligned} U_{2} (X, j) & = \frac{exp (ich k z)}{ich λ z} \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) exp (\frac{ich k}{2 z} [(X - ξ)^{2} + (j - η)^{2}]) D ξ D η (4) \\ = \frac{exp (ich k z)}{ich λ z} exp (\frac{ich k}{2 z} [X^{2} + j^{2}]) \times . . . \\ \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) exp (\frac{ich k}{2 z} [ξ^{2} + η^{2}]) exp (- \frac{2 π ich}{λ z} [X ξ + j η]) D ξ D η (5) \end{aligned}

$\begin{split} U_2(x,y) &= \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\Bigg( \frac{ik}{2z} \bigg[ (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 \bigg] \Bigg)\,d\xi\, d\eta \hspace{2.4cm} (4)\\ &= \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[x^2+y^2\big]\bigg)\times\; ... \\ &\hspace{1.5cm}\iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[\xi^2+\eta^2\big]\bigg) \; \textrm{exp}\bigg(-\frac{2\pi i}{\lambda z}\big[x\xi+y\eta\big]\bigg)\,d\xi\, d\eta \hspace{1cm} (5) \end{split}$ was solange gültig sein sollte

\begin{matrix} (6) & z^{3} ≫ \frac{π}{4 λ} [(X - ξ)^{2} + (j - η)^{2}]_{max}^{2} . \end{matrix}

$z^3\gg \frac{\pi}{4\lambda} \big[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2\big]^2_{\textrm{max}}. \tag{6}$

Fraunhofer-Näherung

Wenn wir das weiter annehmen

\begin{matrix} (7) & z ≫ \frac{k (ξ^{2} + η^{2})_{max}}{2}, \end{matrix}

$z\gg\frac{k(\xi^2+\eta^2)_{\textrm{max}}}{2}, \tag{7}$ dann die erste Exponentialfunktion innerhalb der Integration in Gl. (5) ist

\approx 1

$\approx 1$ , was zum vereinfachten Fraunhofer-Integral führt

\begin{matrix} (8) & U_{2} (X, j) = \frac{exp (ich k z)}{ich λ z} exp (\frac{ich k}{2 z} [X^{2} + j^{2}]) \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) exp (- \frac{2 π ich}{λ z} [X ξ + j η]) . \end{matrix}

$U_2(x,y) = \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[x^2+y^2\big]\bigg) \iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\bigg(-\frac{2\pi i}{\lambda z}\big[x\xi+y\eta\big]\bigg). \tag{8}$

Meine Fragen:

Ich habe immer gelesen, dass "Fraunhofer dem Fernfeldregime entspricht", während "Fresnel dem Nahfeldregime entspricht". Jedoch:

Beim Erhalten der Fraunhofer-Formel in Gl. (8) musste ich zunächst die Fresnel-Näherung von Gl. (5). Bedeutet dies, dass Fraunhofer und Fresnel nicht zwei unterschiedliche individuelle Regime sind, sondern dass Fraunhofer automatisch gleichzeitig Fresnel impliziert?
Beide Bedingungen für die beiden Näherungen in Gleichung (6) und (7) erfordern einen großen Wert von $z$ - Wie kann ich dies mit der Idee in Einklang bringen, dass "Fresnel Nahfeld ist", wenn eine seiner Anforderungen eine große Entfernung ist $z$ ?

Wenn ich in irgendeiner Mathematik einen Fehler gemacht habe, weisen Sie ihn bitte darauf hin, aber ich würde mich auch über ein intuitives Bild/eine Erklärung freuen. Danke schön!

flippiefanus

Ja in der Tat. Fraunhofer-Bedingungen fallen in den Geltungsbereich der Fresnel-Bedingungen.

teeeee

Ok, warum wird Fresnel oft (immer?) als "Nahfeld" und Fraunhofer als "Fernfeld" bezeichnet?

Karl Witthöft

Weil diese jeweiligen Annäherungen in den genannten Regionen "am besten" funktionieren.

teeeee

@CarlWitthoft Ist es also gültig, den Fresnel-Beugungsausdruck (meine Gleichungen 5/6) auch für sehr große Entfernungen zu verwenden? Aber der Nachteil ist, dass das unnötig aufwändig ist, wenn auch die Fraunhofer-Version gültig ist?

flippiefanus

Genau genommen ist die Fresnel-Beugung nichts für das Nahfeld, da sie auch eine gewisse Ausbreitungsdistanz benötigt, bevor sie gültig ist. Es entspricht dem, was oft als paraxialer Zustand bezeichnet wird. Für Nahfeldbedingungen benötigt man einen Strahlausbreitungsansatz in Form des Winkelspektrums.

teeeee

@flippiefanus könntest du mich auf eine Ressource verweisen, wo ich lernen könnte, wie das geht? Ich dachte, das Beste im Nahfeld (wo Fresnel nicht gültig ist) wäre die Verwendung des Rayleigh-Sommerfeld-Integrals.

flippiefanus

Ich kann es erklären, aber dann muss es eine spezielle Frage sein. Es wäre angebracht, dies hier mit der aktuellen Fragestellung zu versehen.

teeeee

@flippiefanus Danke, ich wollte die ursprüngliche Frage nicht zu sehr erweitern und dadurch die Torpfosten verschieben, was die Antwort von hyportnex unten ungültig machen könnte. Daher habe ich hier eine neue Frage erstellt physical.stackexchange.com/q/576529/254512 .

Antworten (1)

Bedeutet die Fraunhofer-Beugung auch automatisch, dass gleichzeitig die Fresnel-Näherung erfüllt ist?

Ja in der Tat. Fraunhofer-Bedingungen fallen in den Geltungsbereich der Fresnel-Bedingungen.
Ok, warum wird Fresnel oft (immer?) als "Nahfeld" und Fraunhofer als "Fernfeld" bezeichnet?
Weil diese jeweiligen Annäherungen in den genannten Regionen "am besten" funktionieren.
@CarlWitthoft Ist es also gültig, den Fresnel-Beugungsausdruck (meine Gleichungen 5/6) auch für sehr große Entfernungen zu verwenden? Aber der Nachteil ist, dass das unnötig aufwändig ist, wenn auch die Fraunhofer-Version gültig ist?
Genau genommen ist die Fresnel-Beugung nichts für das Nahfeld, da sie auch eine gewisse Ausbreitungsdistanz benötigt, bevor sie gültig ist. Es entspricht dem, was oft als paraxialer Zustand bezeichnet wird. Für Nahfeldbedingungen benötigt man einen Strahlausbreitungsansatz in Form des Winkelspektrums.
@flippiefanus könntest du mich auf eine Ressource verweisen, wo ich lernen könnte, wie das geht? Ich dachte, das Beste im Nahfeld (wo Fresnel nicht gültig ist) wäre die Verwendung des Rayleigh-Sommerfeld-Integrals.
Ich kann es erklären, aber dann muss es eine spezielle Frage sein. Es wäre angebracht, dies hier mit der aktuellen Fragestellung zu versehen.
@flippiefanus Danke, ich wollte die ursprüngliche Frage nicht zu sehr erweitern und dadurch die Torpfosten verschieben, was die Antwort von hyportnex unten ungültig machen könnte. Daher habe ich hier eine neue Frage erstellt physical.stackexchange.com/q/576529/254512 .

hyportnex · Answer 1

Hier ist Ihre Gleichung für groß $z$

\begin{aligned} U_{2} (X, j) & = \frac{exp (ich k z)}{ich λ z} \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) exp (\frac{ich k}{2 z} [(X - ξ)^{2} + (j - η)^{2}]) D ξ D η (5) \\ = \frac{exp (ich k z)}{ich λ z} exp (\frac{ich k}{2 z} [X^{2} + j^{2}]) \times . . . \\ \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) exp (\frac{ich k}{2 z} [ξ^{2} + η^{2}]) exp (- \frac{2 π ich}{λ z} [X ξ + j η]) D ξ D η (6) \end{aligned}

$\begin{split} U_2(x,y) &= \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\Bigg( \frac{ik}{2z} \bigg[ (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 \bigg] \Bigg)\,d\xi\, d\eta \hspace{2.4cm} (5)\\ &= \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[x^2+y^2\big]\bigg)\times\; ... \\ &\hspace{1.5cm}\iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[\xi^2+\eta^2\big]\bigg) \; \textrm{exp}\bigg(-\frac{2\pi i}{\lambda z}\big[x\xi+y\eta\big]\bigg)\,d\xi\, d\eta \hspace{1cm} (6) \end{split}$ Beachten Sie, dass dieses Integral nicht die Fourier-Transformation des gegebenen Aperturfelds ist

U_{1} (ξ, η)

$U_1(\xi,\eta)$ sondern von seiner phasenmodulierten Version

U_{1} (ξ, η) exp (\frac{i k}{2 z} [ξ^{2} + η^{2}])

$U_1(\xi,\eta)\textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[\xi^2+\eta^2\big]\bigg)$ . Das

Σ

$\Sigma$ eine Apertur endlicher Größe zu sein, für groß genug

z

$z$ die Phase des Exponentials kann beliebig klein gemacht und dann vernachlässigt werden. Wenn Sie dies tun können, wird dies als Fraunhofer-Zone bezeichnet, aber wenn Sie nicht so weit entfernt sind, müssen Sie die quadratische Phasenänderung berücksichtigen und befinden sich in der Fresnel-Zone.

Trifft eine ebene Welle auf die Apertur und befindet man sich in der Fraunhofer-Zone, dann ist das Verhalten des Fernfeldes wesentlich von der Amplitude abhängig $|U_1|$ Amplitude für seine Phase ist eine lineare Funktion und kann vom Fourier-Kern als Winkelverschiebung absorbiert werden. In der Fresnel-Zone ist dies jedoch nicht der Fall, und die quadratische Phasenmodulation ist eine zusätzliche unangenehme Komplikation bei der Bewertung des schrägen Einfalls.

Zusammengefasst: Mit der quadratischen Phasenmodulation jenseits der Rayleigh (Fraunhofer)-Grenze [1] $\frac{2D^2}{\lambda}$ in Gleichung $(6)$ ist legitim, fügt aber nichts weiter als numerische/analytische Komplikationen hinzu. Die Fresnel-Näherung ersetzt die Quadratwurzel durch einen quadratischen Ausdruck in der komplexen Exponentialfunktion und führt zu einer Fourier-Transformation des phasenmodulierten Aperturfelds. Die Fraunhofer-Näherung ist eine weitere Vereinfachung der in der Rayleigh-Grenze gültigen "Fresnel", nämlich eine Linearisierung des Exponenten, die zu einer Foruier-Transformation des Aperturfelds führt, jedoch ohne die quadratische Phasenmodulation.

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Fraunhofer_Distanz

Bedeutet die Fraunhofer-Beugung auch automatisch, dass gleichzeitig die Fresnel-Näherung erfüllt ist?

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Antworten (1)

hyportnex

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