Laserresonator-Analyseformel für die Summe der Moden

Ich denke, dass folgendes helfen könnte:

Die Lasermoden eines Resonators der Länge$L$haben folgenden (Winkel-)Frequenzabstand:

$$\begin{equation} \Delta \omega = 2\pi c/(2L) = 2\pi/(T_c) \end{equation}$$

Hier,$T_c$ist die Hohlraum-Umlaufzeit. Die stehenden Moden des Resonators haben folgende Frequenzen:

$$\begin{equation} \omega_n = \omega_{\text{offset}} + n\Delta\omega \end{equation}$$

mit$n = 0,1,2,3,...$, Und$\omega_{\text{offset}}$die Kreisfrequenz der Träger-Hüllkurvenphase ist. Die Hohlraummoden breiten sich wie folgt aus:

$$\begin{equation} E_n(z,t) = a_n \exp\left[ i(k_n z\pm\omega_nt + \phi_n)\right] \end{equation}$$

Wo$a_n$ist die Amplitude der Welle,$\phi_n$seine Phase und$\pm$wird für Wellen verwendet, die sich in beide Richtungen ausbreiten. Ein Hohlraum wird haben$N$Längsmoden und das darin zirkulierende Feld können als Überlagerung von ihnen ausgedrückt werden:

$$\begin{equation} E(z,t) = \sum_{n=q_0}^{q_0 + N-1} a_n \exp\left[i(k_nz - \omega_n t + \phi_n)\right] \end{equation}$$

Jetzt können wir einige Annahmen treffen, damit wir die geometrische Progressionsformel verwenden können, die Sie angeben. Nehmen Sie an, dass das Spektralprofil des Lasers eine „Top-Hat“-Funktion ist, sodass alle Wellen unter dem Summationszeichen die gleiche Amplitude haben$E_0$. Wir können der Einfachheit halber auch annehmen, dass alle Wellen die gleiche Phase haben, also$\phi_n=0$(Auch hier gibt es keinen allzu großen Verlust an Allgemeingültigkeit, da die Hohlraummoden bei einem modengekoppelten Hohlraum eine genau definierte Phasenbeziehung haben, selbst wenn die Phase nicht flach ist). In Anbetracht der Welle an$z=0$die Gleichung für$E(z,t)$wird:

$$\begin{equation} E(0,t) = E_0\sum_{n=q_0}^{q_0 + N-1} \exp\left[-i(\omega_{\text{offset}} + n\Delta\omega)t\right] \end{equation}$$

Betrachtet man dies als geometrische Progression:

$$\begin{equation} E(0,t) = E_0\exp(-i\bar{\omega}t)\frac{\sin[(N/2)\Delta\omega t]}{\sin[(1/2)\Delta\omega t]}. \end{equation}$$

Die Balkennotation gibt die mittlere Modenfrequenz der oszillierenden Moden an. Diese Überlagerung von Moden ergibt also eine Laserausgabe, die eine Wanderwelle mit Kreisfrequenz ist$\bar{\omega}$, und die durch eine durch gegebene Hüllkurvenfunktion modifiziert wird$\sin[(N/2)\Delta\omega t] / \sin[(1/2)\Delta\omega t]$.

Dafür gibt es viele Quellen, da dies ein Standardansatz ist, um die Idee der Moden und ihrer Phasen in die Laserphysik einzuführen (lernen Sie es also kennen, wenn Sie mehr studieren möchten!). Aus diesem Grund habe ich einige Zwischenschritte in der Mathematik weggelassen. Wenn Ihnen diese Erklärung jedoch nicht zusagt, dann gibt es online einige (brillante) Vorlesungsunterlagen für diese Art von Dingen, obwohl es zugegebenermaßen eine Menge Graben erfordern kann, um an die Informationen zu gelangen, die Sie benötigen. Sehen Sie sich die Vorlesungsunterlagen von Rick Trebino an . Trotzdem fand ich das folgende Lehrbuch sehr nützlich (und ich denke, diese Erklärung, die meinen persönlichen Notizen entnommen ist, ist hier direkt zu finden): Laser Physics, Oxford Master Series in Atomic, Optical, and Laser Physics, (Autoren: Hooker & Webb).