Leistungsdichte der Sonne im Vergleich zu einem Komposthaufen

Ihre (Gärtner-)Intuition ist falsch. Wenn Sie die Größe Ihres Komposthaufens auf die Größe eines Sterns erhöhen, wäre sein Kern so heiß wie der der Sonne. Wenn alle anderen Dinge gleich sind (obwohl Komposthaufen nicht Wasserstoff plus Helium sind), würde die Temperatur eines kugelförmigen Komposthaufens nur von seiner Gesamtmasse dividiert durch seinen Radius abhängen$^{*}$.

Um das Gewicht des gesamten darüber liegenden Materials zu tragen, ist ein großer Druckgradient erforderlich. Dies wiederum erfordert, dass der Innendruck des Sterns sehr groß ist.

Aber warum diese spezielle Temperatur/Dichte-Kombination? Kernreaktionen verhindern tatsächlich, dass der Kern heißer wird . Ohne sie würde der Stern von seiner Oberfläche aus strahlen und sich weiter zusammenziehen und im Zentrum noch heißer werden. Die Kernreaktionen liefern gerade genug Energie, um der von der Oberfläche abgestrahlten Energie zu entsprechen, und verhindern so die Notwendigkeit einer weiteren Kontraktion.

Die Kernreaktionen werden initiiert, sobald die Kerne eine ausreichende kinetische Energie (abhängig von ihrer Temperatur) erreichen, um die Coulomb-Barriere zwischen ihnen zu durchdringen. Die starke Temperaturabhängigkeit der Kernreaktionen wirkt dann wie ein Kernthermostat. Wird die Reaktionsgeschwindigkeit erhöht, dehnt sich der Stern aus und die Kerntemperatur kühlt wieder ab. Umgekehrt führt eine Kontraktion zu einer Erhöhung der Kernreaktionsrate und zu einer Erhöhung von Temperatur und Druck, die einer Kompression entgegenwirken.

$*$Diese Beziehung ergibt sich aus dem Virialsatz , der besagt, dass für ein Fluid/Gas, das ein mechanisches Gleichgewicht erreicht hat, die Summe der (negativen) Gravitationspotentialenergie und der doppelten inneren kinetischen Energie gleich Null ist.

Die innere kinetische Energie kann angenähert werden als$3k_BT/2$pro Teilchen (für ein einatomiges ideales Gas) und die Gravitationspotentialenergie als$-\alpha GM^2/R$, wo$M$ist die Masse,$R$der Radius u$\alpha$ist ein numerischer Faktor der Ordnungseinheit, der vom genauen Dichteprofil abhängt. Der Virialsatz wird dann zur totalen kinetischen Energie

Eine andere Möglichkeit zu sehen, dass die Energiedichte der Sonne ziemlich niedrig sein muss (oder dass sehr große Komposthaufen sehr heiß werden) und auch die Beziehung zwischen Temperatur und Radius zu sehen, besteht darin, zu berechnen, wie hoch die Oberflächentemperatur für eine bestimmte Energiedichte sein sollte.

Wir können also die Sonne als Kugel mit Radius modellieren$R$, und eine Leistungsdichte von$\rho$. Das Gesamtvolumen der Sonne ist dann

und die Gesamtleistung ist

Die Oberfläche der Sonne ist dann

So ist der Kraftfluss durch die Sonnenoberfläche

(Beachten Sie, dass dies so abläuft$R$: je größer der Stern, desto höher der Fluss für eine gegebene Leistungsdichte.)

Und wir können das Stefan-Boltzmann-Gesetz verwenden, das die Oberflächentemperatur mit dem Fluss in Beziehung setzt, vorausgesetzt, die Sonne ist ein schwarzer Körper

Und wenn wir das zusammenfügen, bekommen wir

Wo$T$ist die Oberflächentemperatur der Sonne. Diese Formel sagt Ihnen, dass große Objekte, die Strom erzeugen, viel heißer werden als kleine mit der gleichen Leistungsdichte: Die Oberflächentemperatur ist die vierte Wurzel des Radius.

Setzt man die Zahlen ein, ergibt sich eine viel zu hohe Oberflächentemperatur, woraus ich schließe, dass die Leistungsdichte der Sonne tatsächlich viel geringer ist als die Wikipedia-Zahl: Diese Zahl bezieht sich wahrscheinlich auf den Teil der Sonne, in dem Fusion stattfindet nur, nicht das ganze Volumen.

Wenn der Haufen sich selbst anzieht, dann ist sein Zentrum umso wärmer, je größer der Haufen ist. Die Idee dahinter ist, dass das Material im Kern den Druck spürt, der von allen darüber liegenden Schichten ausgeübt wird, und Sie wissen wahrscheinlich, dass es sich erwärmt, wenn Sie Druck auf etwas ausüben.

Interessant ist hier, dass alle äußeren Schichten Ihres selbstgravitativen "Haufens" dazu neigen, zur Mitte hin zu kollabieren (das ist das, was die Schwerkraft am besten kann), und infolgedessen wird der Druck weiter zunehmen und ebenso die Temperatur im Kern . Wenn die Masse groß genug ist, ist die durch diesen Mechanismus erreichte Temperatur so hoch, dass Moleküle spalten, Atome ionisieren und Kerne verschmelzen, wodurch thermonukleare Energie erzeugt wird.

Diese im Zentrum erzeugte Energie wandert nach außen und erzeugt einen Druck auf das kollabierende Material. Das Ergebnis ist, dass das System ein Gleichgewicht erreicht, in dem der hydrodynamische Druck durch den Strahlungsdruck ausgeglichen wird, der durch die Fusion im Zentrum entsteht. Es ist möglich, zu rechnen und zu berechnen, welche Temperatur erforderlich ist, um Wasserstoff in Helium zu verschmelzen: Das Ergebnis ist 15,7 Millionen K.