Leiterstruktur von d>d>d>2 CFT

Die Wirkung des Dilatationsgenerators$D$auf einem primären Dimensionsoperator$\Delta$,$\mathcal{O}_{\Delta}(0)$, ist gegeben durch

$$\left[D,\mathcal{O}_{\Delta}(0)\right] = -i\Delta\mathcal{O}(0). \,\,\,\, (1)$$ Aber der Leiteroperator Subalgebra $$[D,P_\mu] = iP_\mu\,\,\,\, (2a)$$ $$[D,K_\mu]=-iK_\mu\,\,\,\, (2b)$$ $$[K_\mu,P_\nu] = 2i(g_{\mu\nu}-M_{\mu\nu}),\,\,\,\, (2c)$$ scheint darauf hinzudeuten $P_\mu$verringert die Skalierungsdimension, anstatt sie zu erhöhen: $$DP_\mu|\Delta\rangle = ([D,P_\mu]+P_\mu D)|\Delta\rangle = (iP_\mu-i\Delta P_\mu)|\Delta\rangle=-i(\Delta-1)P_\mu|\Delta\rangle. \,\,\,\, (3)$$

Die Dinge laufen so, wie sie sollten, wenn wir das bedenken

$$D|\Delta\rangle=i\Delta|\Delta\rangle,\,\,\,\, (4)$$ B. in den Vorlesungsnotizen von Qualls auf Seite 39: https://arxiv.org/abs/1511.04074 . Er nutzt auch $(1)$auf Seite 30.

Ich dachte eine Zeit lang, dass es sich nur um eine geringfügige Konventionsänderung handelt, da die Skalierungsdimension positiv sein muss (sonst würden die Korrelationen mit der Entfernung wachsen), dann würde es natürlich erscheinen, eine Definition vorzunehmen$(4)$, obwohl während der Diskussion der Darstellung von$D$es würde mit einem Minus definiert werden, siehe$(1)$. Wenn dies der Fall wäre, könnte dieses globale Vorzeichen als globale Phase absorbiert werden, aber da die Leiteralgebra unbeeinflusst ist, ist das relative Minus drin$\Delta-1$auf Gl.$(3)$bestehen würde.

Also, was ist los? Jede Anleitung wäre willkommen!