Lösung für die Impedanz und Phasenverschiebung in einer seriell-parallelen AC-RCL-Schaltung mit komplexen Zahlen

Question

Lösung für die Impedanz und Phasenverschiebung in einer seriell-parallelen AC-RCL-Schaltung mit komplexen Zahlen

Genap

Hatte große Probleme, durch einen Wechselstromkreis zu arbeiten, und bat um Hilfe.

Die Schaltung ist relativ einfach - ich habe einen Kapazitätskondensator $C$ und Widerstand des Widerstands $R$ parallel eingehakt, die in Reihe mit einer Spulenschleife der Impedanz eingehakt ist $L$ an eine Wechselspannungsquelle von $e_0\sin(\omega t)$ .

Ich werde die Schritte durchgehen, um Ihnen zu zeigen, wo ich meine Probleme habe.

Also zuerst die Parallelkombination lösen.

\frac{1}{Z_{T}} = \frac{1}{Z_{C}} + \frac{1}{Z_{R}}

$\frac{1}{Z_t} = \frac{1}{Z_c} + \frac{1}{Z_r}$

und das wissen wir $Z_c = \frac{-i}{\omega C}$ Und $Z_r = R$

So

\frac{1}{Z_{T}} = \frac{1}{R} - \frac{ω C}{ich} = \frac{1}{R} + ω C ich

$\frac{1}{Z_t} = \frac{1}{R} - \frac{\omega C}{i} = \frac{1}{R} + \omega Ci$

und somit

Z_{T} = \frac{R}{1 + ich ω C R}

$Z_t = \frac{R}{1+i \omega CR}$

Um nun die Gesamtimpedanz zu ermitteln, $Z = Z_t + Z_l$

Z = \frac{R}{1 + ich ω C R} + ich ω L = \frac{R (1 - ω^{2} L C R) + ich ω L}{1 + ich ω C R}

$Z = \frac{R}{1+i \omega cR} + i \omega L = \frac{R(1- \omega^2 LCR) + i \omega L}{1+i \omega CR}$

Ist das richtig?

Außerdem ist das nächste Problem, das ich dann habe, die Phasenverschiebung. Per Definition ist die Phasenverschiebung einer komplexen Schaltung

ϕ = \arctan (\frac{Imaginär}{Real})

$\phi = \arctan\left(\frac{\text{Imaginary}}{\text{Real}}\right)$

Wie zum Teufel soll ich aus dieser Gleichung ein Imaginäres und ein Reales herausbekommen? Welche Teile sind imaginär und welche real?

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Lösung für die Impedanz und Phasenverschiebung in einer seriell-parallelen AC-RCL-Schaltung mit komplexen Zahlen

Eugen Sch. · Answer 1

Angenommen, diese Gleichung ist richtig:

Z = \frac{R}{1 + ich ω C R} + ich ω L

$Z = \frac{R}{1+i \omega cR} + i \omega L$

Wir multiplizieren den Nenner des ersten Terms und den Nenner mit dem komplexen Konjugat des Nenners:

. . = \frac{R (1 - ich ω C R)}{(1 + ich ω C R) (1 - ich ω C R)} + ich ω L

$.. = \frac{R(1-i\omega c R)}{(1+i \omega cR)(1-i\omega c R)} + i \omega L$ und damit das imaginäre Zeug im Nenner loswerden:

. . = \frac{R (1 - ich ω C R)}{(1 + ω^{2} C^{2} R^{2})} + ich ω L

$.. = \frac{R(1-i\omega c R)}{(1+ \omega^2 c^2R^2)} + i \omega L$ Und dieses Ding lässt sich leicht in Real- und Imaginärteil trennen:

. . = \frac{R}{1 + ω^{2} C^{2} R^{2}} + ich (ω L - \frac{ω C R^{2}}{1 + ω^{2} C^{2} R^{2}})

$.. = \frac{R}{1+ \omega^2 c^2R^2} + i \left(\omega L - \frac{\omega c R^2}{1+ \omega^2 c^2R^2} \right)$

Chu · Answer 2

Die einfachste Methode, um den Gesamtphasenwinkel zu erhalten, ist:

Phi = (Phasenwinkel des Zählers) - (Phasenwinkel des Nenners)

Phi = arctan[wL/R(1-w^2LCR)] - arctan(wCR)

Das spart viel Algebra.

Wenn Sie eine komplexe Impedanz Z in der Form haben: Z = (A + jB) / (C + jD), ist der beste Weg, Modul (oder „Größe“) und Phasenwinkel zu erhalten, im Allgemeinen:

Größe = SQRT(A^2 + B^2)/SQRT(C^2 + D^2)

Phasenwinkel = arctan(B/A) - arctan(D/C)

(Beachten Sie, dass wir in der Technik 'j' als imaginären Operator verwenden, da 'i' für Strom reserviert ist.)

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Genap

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Eugen Sch.

Chu

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