Logarithmisches Windgeschwindigkeitsprofil

Das logarithmische Profil der Windgeschwindigkeit bezieht sich auf den unteren Teil der atmosphärischen Grenzschicht (z. B. etwa die unteren 100 m auf einer etwa 1000 m hohen Grenzschicht). Es kann abgeleitet werden, indem einige nicht offensichtliche, aber vernünftige Annahmen gemacht werden.

A) Der vertikale Fluss des horizontalen Impulses aufgrund von Turbulenzen muss im untersten Teil der Atmosphäre gleichmäßig sein. Betrachten wir einen Referenzrahmen, in dem die durchschnittliche Geschwindigkeit$\overline{u}$ist entlang der x-Achse gerichtet. Lassen Sie uns die Geschwindigkeit gemäß der Reynolds-Zerlegung in ihre durchschnittlichen und zufälligen (turbulenten) Teile zerlegen : Die x-Komponente der Geschwindigkeit ist gegeben durch

$u = \overline{u} + u'$

Vertikale Komponente ist:

$w = w'$

Wo$\overline{u'} = 0$, Und$\overline{w'} = 0$, aber im Allgemeinen$\overline{u'w'} \neq 0$: u' und w' sind kovariant. Der vertikale Fluss des horizontalen Impulses ist gegeben durch$\overline{u'w'}$. Somit kann die erste Annahme wie folgt ausgedrückt werden:

1:$\overline{u'w'} = constant$

B) Prandtl-Hypothese: Zufälliger Anteil der Horizontalgeschwindigkeit u' ist proportional zur vertikalen Windscherung:

2:$u' = l' \frac{\partial \overline{u}}{\partial z}$

wobei l' die "Mischungslänge" ist: Wir können annehmen, dass ein Luftteilchen seine ursprüngliche horizontale Geschwindigkeit während seiner zufälligen Bewegung für eine Länge l' beibehält, bevor es sich mit der umgebenden Luft vermischt.

C) Die vertikale Längenskala turbulenter Wirbel ist vergleichbar mit ihrer horizontalen Längenskala, daher ist der zufällige Anteil der vertikalen Geschwindigkeit von derselben Größenordnung wie der horizontale:

3:$w' \approx l' \frac{\partial \overline{u}}{\partial z}$

Verwenden der Ausdrücke 2 und 3 in 1:

4:$\overline{u'w'} = \overline{l'^2} \left(\frac{\partial \overline{u}}{\partial z}\right)^2$

D) Am unteren Teil der Atmosphäre ist der Absolutwert der Mischungslänge l' proportional zum hohen z: Dies ist vernünftig, weil zufällige Bewegungen am Boden durch die Erdoberfläche begrenzt sind. Die Hypothese lautet:$(|l'| = kz)$wobei k die Kàrmàn-Konstante ist. Durch Einsetzen von l' in Ausdruck 4 erhalten wir:

5:$\overline{u'w'} = (kz)^2 \left(\frac{\partial \overline{u}}{\partial z}\right)^2$

Durch Ziehen der Quadratwurzel aus 4 und Trennen der Variablen erhalten wir:

6:$d\overline{u} = \frac{\sqrt{\overline{u'w'}}}{k} \frac{dz}{z}$

Durch Integrieren erhalten wir das logarithmische Profil:

$\Delta \overline{u} = \frac{\sqrt{\overline{u'w'}}}{k} \log{\frac{z}{z_0}}$

Meine Vermutung ist, dass dies eine Eigenschaft von turbulenten Grenzschichten über rauen Oberflächen ist. Möglicherweise können Sie die Rauhigkeit und Windgeschwindigkeit einer Strouhal- Zahl zuordnen und zusammen mit der Raynolds-Zahl angeben, in welcher Situation Sie diese haben$\log()$Gesetz dominant sein.

Was eine Ableitung dieses Verhaltens betrifft, hoffe ich, dass jemand mit Erfahrung mit Flüssigkeiten Ihre Frage tatsächlich beantworten kann.