Masse in der speziellen Relativitätstheorie

Question

Masse in der speziellen Relativitätstheorie

Masse
Physik
schneller als das Licht
Spezielle Relativität

Inceptio

Ich habe gerade eine Frage darüber, wie diese Gleichung funktioniert, wenn sie richtig ist.

Wir haben das Sprichwort der Newtonschen Physik $F=ma$ ,

Entsprechend der ' Masse in der speziellen Relativitätstheorie ' ändert sich die Masse entsprechend

M = \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} .

$m= \dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

So unser

F = \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} \cdot \frac{D v}{D T} .

$F=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \cdot \dfrac{dv}{dt}.$

$v^2$ ist nicht konstant. Es bewegt sich mit einer gleichmäßigen Beschleunigung. Also finde ich die Durchschnittsgeschwindigkeit heraus,

Seit der $v=at$ , Ursache: $u=0$

\frac{\int_{T_{1}}^{T_{2}} F (T) D T}{T_{2} - T_{1}} = v_{A v G}

$\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)dt}{t_2-t_1}=v_{avg}$

\frac{A (T_{2}^{2} - T_{1}^{2})}{2 (T_{2} - T_{1})} = v_{A v G}

$\dfrac{a(t_2^2-t_1^2)}{2(t_2-t_1)}=v_{avg}$

Meine Kraftgleichung wird

F = \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - \frac{\frac{A^{2} (T_{2}^{2} - T_{1}^{2})^{2}}{4 (T_{2} - T_{1})^{2}}}{C^{2}}}} \cdot \frac{D v}{D T},

$F=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\dfrac{a^2(t_2^2-t_1^2)^2}{4(t_2-t_1)^2}}{c^2}}} \cdot \dfrac{dv}{dt},$

oder einfach

\frac{M_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v_{A v G}^{2}}{C^{2}}}} \cdot \frac{D v}{D T} .

$\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v_{avg}^2}{c^2}}} \cdot \dfrac{dv}{dt}.$

Was passiert, wenn ich schneller als Licht reise? Oder gleich der Lichtgeschwindigkeit. Meine Masse wird nicht ' $\infty$ ' mit Sicherheit. Was ist der Korrekturfaktor, wenn meine Beschleunigung nicht gleichmäßig ist.

David z

Übrigens, wenn etwas keine Frage ist, gehört es nicht auf diese Seite. Nun, es hört sich so an, als wäre dies eine Frage, aber es ist nicht genau klar, was Sie fragen. Versuchen Sie Folgendes: Können Sie Ihre Frage so umformulieren, dass sie sich nicht auf das Reisen mit Lichtgeschwindigkeit oder Lichtgeschwindigkeit bezieht?

Abhimanyu Pallavi Sudhir

Siehe auch: physical.stackexchange.com/questions/71772/… .

Antworten (3)

Masse in der speziellen Relativitätstheorie

Übrigens, wenn etwas keine Frage ist, gehört es nicht auf diese Seite. Nun, es hört sich so an, als wäre dies eine Frage, aber es ist nicht genau klar, was Sie fragen. Versuchen Sie Folgendes: Können Sie Ihre Frage so umformulieren, dass sie sich nicht auf das Reisen mit Lichtgeschwindigkeit oder Lichtgeschwindigkeit bezieht?
Siehe auch: physical.stackexchange.com/questions/71772/… .

Alfred Centauri · Answer 1

Deine zweite Gleichung ist falsch. Sowohl in der Newtonschen Mechanik als auch in der Relativistischen Mechanik ist Kraft die zeitliche Änderungsrate des Impulses:

$\vec F = \dfrac{d \vec p}{dt}$

Wo in der speziellen Relativitätstheorie Impuls ist:

$\vec p = m \dfrac{\vec v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = m \gamma \vec v$

Und $m$ ist die invariante Masse.

Wenn also die Zeitableitung genommen wird, gilt nach der Produktregel:

$\vec F = m(\gamma \vec a + \dot \gamma \vec v)$

Beachten Sie, dass der Kraftvektor im Allgemeinen nicht parallel zum Beschleunigungsvektor ist!

Wenn der Kraftvektor immer parallel zum Geschwindigkeitsvektor ist, vereinfacht sich die Kraftgleichung zu:

$F = m \gamma^3 a = m \dfrac{a}{(1 - \frac{v^2}{c^2})^{\frac{3}{2}}}$

Wenn du jetzt schreibst:

Es bewegt sich mit einer gleichmäßigen Beschleunigung

da musst du eigentlich konkreter werden. Es scheint, dass Sie an die Koordinatenbeschleunigung denken, es gibt jedoch auch die Beschleunigung, die von Beschleunigungsmessern gemessen wird (die richtige Beschleunigung), und diese Unterscheidung wird von SR-"Neulingen" oft nicht geschätzt.

Während es möglich ist, dass die richtige Beschleunigung gleichmäßig ist, ist es nicht möglich, dass die Koordinatenbeschleunigung gleichmäßig ist, da dies eine unbegrenzte Kraft erfordern würde.

Die Macht muss sein $\dfrac{1}{2}$ ? Ihre Gleichung scheint dimensional falsch zu sein
@Inceptio, wenn Sie nach dem Exponenten in der endgültigen Gleichung fragen, beachten Sie, dass der Lorentz-Faktor dimensionslos ist.

JLA · Answer 2

Schneller als das Licht kann man nicht reisen. Und irgendetwas mit Masse kann sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen, also wenn Sie sich festlegen $v=c$ in jeder dieser Gleichungen, die Sie brauchen $m_0=0$ , und Sie würden also von einem Photon oder einem anderen masselosen Teilchen sprechen. Als $v\to c$ In diesen Gleichungen geht die Kraft ins Unendliche, also kann man sie nie erreichen $c$ für $m_0\ne 0$ .

the force goes to infinity- und darüber hinaus gehen auch einige wichtige Kraftintegrale ins Unendliche, nämlich die Arbeit und der Kraftimpuls, die an die Energie und den Impuls des beschleunigten Körpers gehen würden. Es wäre eine mathematisch mögliche Situation, in der die Funktion unendlich wird, ihr Integral jedoch nicht.
Was passiert, wenn die Beschleunigung nicht gleichmäßig ist? Was wird der Korrekturfaktor sein?
What happens when acceleration is not uniform?- Die Kraft wird aus dem im selben Moment gemessenen Beschleunigungswert berechnet, es spielt also keine Rolle, ob sie gleichmäßig ist oder nicht. Und Kraftintegrale sind an die Energie und den Impuls des Körpers gebunden, die aus der Geschwindigkeit berechnet werden und nicht davon abhängen, in welchem Modus diese Geschwindigkeit erreicht wurde. An der Begrenzung kommt man nicht vorbei - das wird deutlich, wenn man sich das 4-Vektor-Geometrie-Bild vor Augen führt. Das ist so, als ob die Beschleunigung dem Gehen auf der Oberfläche des Planeten und der Geschwindigkeit ähnlich ist $v>c$ ist wie ein weiterer Planet, der über deinem Kopf hängt.

Tannenbaum · Answer 3

Vielleicht ist das, wonach Sie suchen, die Dynamik eines Tachyons. Ich stelle es kurz vor. Unten verwende ich $m=\mathrm{const}$ als Ruhemasse oder einfach die Masse (Massenänderung mit Geschwindigkeit ist ein pädagogischer Fehler), und $c=1$ - eine übliche Konvention zur Vereinfachung von Formeln ohne Informationsverlust. $\gamma$ ist eine Abkürzung für $1/\sqrt{1-v^2}$ und heißt Lorentzfaktor (für die gewählte $v$ ).

Masse $m$ eines Teilchens spielt die Rolle, dass es die Beziehung zwischen der Energie und dem Impuls des Teilchens festlegt: $E^2-|\vec{p}|^2=m^2$ . Energie und Impuls zusammengenommen ergeben einen Energie-Impuls-Viervektor, wobei ein Energiewert als vierte Komponente gezählt wird (normalerweise 0 genannt und am Anfang in a geschrieben $(E,\vec{p})$ oder $(E,p_x,p_y,p_z)$ Benehmen; grafisch wird es normalerweise vertikal gezeichnet). Dieser Vierervektor ist wichtig, weil er die Weltlinie tangiert – eine Flugbahn in der Raumzeit – und daher seine Richtung eine Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit angibt: $v=p/E$ .

Eine auf das Teilchen ausgeübte Kraft befasst sich mit seinem Energie-Impuls-Viervektor. Es versucht, es zu ändern. Der Energie-Impuls-Vektor hat jedoch eine oben gezeigte Einschränkung, sodass ihm die Kraft keinen Wert geben kann - nur zulässige. In der Zwischenzeit ist innerhalb dieser Beschränkung jeder Wert erreichbar, und zwar auf vielerlei Weise – mit gleichförmiger Beschleunigung, ungleichförmig, unaufhörlich und so weiter.

Wir müssen uns also die Energie-Impuls-Werte genauer ansehen. Für eine Masse ungleich Null gilt $E^2-|\vec{p}|^2=m^2$ beschreibt das zweiblättrige Hyperboloid (nur ein oberes Blatt wird genommen, um das richtige Energiezeichen zu erhalten). Der Energie-Impuls-Vektor kann nicht tiefer als zum Steigungsverhältnis geneigt werden $E/p=1$ (eigentlich ist es immer noch höher, $E/p>1$ ), daher die Begrenzung der Geschwindigkeit: Sie kann nicht größer als 1 sein (nach unserer Konvention ist das die Lichtgeschwindigkeit $c$ ). Aber wir können eine theoretische Möglichkeit eines Teilchens in Betracht ziehen, das von Anfang an anders ist, $E^2-|\vec{p}|^2=\mathrm{const}<0$ , das würde förmlich geben $m$ ein imaginärer Wert. Ein solches Teilchen wird Tachyon genannt (obwohl noch keine solchen Teilchen gefunden wurden und die meisten Physiker glauben, dass es in Zukunft keine mehr geben wird – aus fortgeschrittenen Gründen). Es würde auf dem Ein-Blatt-Hyperboloid "leben" anstatt auf dem Zwei-Blatt-Hyperboloid und würde niemals "normal" werden.

Alle Formeln für solche Teilchen bleiben gleich, wenn wir nur zuweisen $m$ Und $\gamma$ Imaginäre Werte - und tatsächlich heben sich Imaginäre in vielen Formeln auf. Zum Beispiel für die Beschleunigung kollinear mit der Geschwindigkeit,

F = M γ^{3} \frac{D v}{D T}

$F=m\gamma^3\frac{dv}{dt}$ und für die Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit,

F = M γ \frac{D v}{D T}

$F=m\gamma\frac{dv}{dt}$ (Eine Gesamtformel zerlegt nur die Gesamtkraft in kollineare und senkrechte Teile). Seit

m

$m$ Und

γ

$\gamma$ sind beide imaginär, beide

F

$F$ Und

d v / d t

$dv/dt$ am Ende echt sein.

Abgesehen davon zeigt Tachyon einige besondere Eigenschaften, die sich aus seiner Definition und seinen Formeln ergeben. Es kann sich nicht langsamer als Licht bewegen. Es kann sich mit unendlicher Geschwindigkeit bewegen. Es kann seine Bewegungsrichtung in Bezug auf die Zeit ändern – es kann auf "schneller als unendlich" beschleunigt werden, was als große Geschwindigkeit in der entgegengesetzten Richtung und in den vorangegangenen Zeitmomenten erscheinen würde. Tatsächlich würde ein Beobachter zwei Tachionen sehen, die sich einander nähern und dann verschwinden. Oder zwei Tachionen könnten aus dem Nichts auftauchen und beginnen, sich voneinander zu entfernen. (Denken Sie daran, dass dieses Bild einige andere Aspekte und Probleme ignoriert.)

Nun einige Formeln, damit Sie selbst damit arbeiten können. Die SR-Teilchenmechanik wird in Bezug auf die Eigenzeit geschrieben, die durch gegeben ist

D τ^{2} = D T^{2} - (D X^{2} + D j^{2} + D z^{2}) γ D τ = D T

$d\tau^2=dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)\qquad\qquad\gamma\,d\tau=dt$ Vier-Kraft ist (per Definition)

F^{μ} = (γ P, γ \vec{F})

$f^\mu=(\gamma P,\gamma\vec{F})$ Wo

P

$P$ ist eine mechanische Kraft dieser Kraft. Vier-Geschwindigkeit ist (per Definition)

u^{μ} = (γ, γ \vec{v})

$u^\mu=(\gamma,\gamma\vec{v})$ Wir bräuchten auch ein Derivat

\frac{D}{D τ} = \frac{D T}{D τ} \frac{D}{D T} = γ \frac{D}{D T}

$\dfrac{d}{d\tau}=\dfrac{dt}{d\tau}\dfrac{d}{dt}=\gamma\dfrac{d}{dt}$ Und jetzt ist die Viererbeschleunigung (per Definition)

A^{μ} = \frac{D u^{μ}}{D τ}

$a^\mu=\dfrac{du^\mu}{d\tau}$ (Sie können es in expliziter Form finden), und das zweite Newtonsche Gesetz ist

F^{μ} = \frac{D P^{μ}}{D τ} = M \frac{D u^{μ}}{D τ}

$f^\mu=\dfrac{dp^\mu}{d\tau}=m\dfrac{du^\mu}{d\tau}$ (mit

p^{μ}

$p^\mu$ was einen Energie-Impuls-Vier-Vektor bedeutet). Sie können die expliziten Gleichungen für räumliche Werte finden

\vec{F}

$\vec{F}$ Und

\vec{a}

$\vec{a}$ .

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