Ich dachte, es würde Spaß machen, eine grundlegende Simulation eines Rückflugs der ersten Stufe von SpaceXs Falcon 9 zu erstellen, fragte mich aber, welche Mathematik verwendet wird, um so etwas durchzuführen. Wenn Sie sich diese Seite ansehen: http://en.wikipedia.org/wiki/Trajectory_of_a_projectile , gibt es eine nette Gleichung zur Berechnung der Entfernung, die ein Projektil zurücklegen wird, aber diese basiert auf einer flachen Erde, konstanter Gravitationsbeschleunigung und einem fehlenden Luftwiderstand . Darüber hinaus würde die Verwendung dieser Formel auch eine sofortige Delta-v-Änderung bedeuten, damit sie genau ist (es sei denn, wir berechnen neu etwa jede Sekunde während des Brennens des Motors, um ein genaueres Ergebnis zu erhalten), was angesichts der beteiligten Zeitskalen auch ziemlich unrealistisch ist.
Meine Frage lautet also: Wenn wir die erste Stufe von Falcon 9 als eine Punktmasse betrachten, müssen wir uns keine Gedanken über die Dynamik der 6-DOF-Einstellung machen und auch nur zwei Dimensionen betrachten, anstatt uns um 3D kümmern zu müssen sphärische Erde, welche Gleichungen würden verwendet, um die erforderliche Brennzeit genau zu berechnen, die erforderlich ist, um die erste Stufe der Falcon 9 bis auf wenige Kilometer an ihr beabsichtigtes Oberflächenziel heranzubringen, wenn man den atmosphärischen Luftwiderstand und eine kreisförmige Erde berücksichtigt. Alle Links zu informativen Websites, die so etwas behandeln, oder wissenschaftliche Arbeiten wären sehr willkommen. Vielen Dank!
Sie möchten Ihre Erkundung wirklich in eine Reihe von Projekten aufteilen. Ich gehe davon aus, dass Sie mathematische und physikalische Kenntnisse haben. Andernfalls ist es Aufgabe Nr. 0, diese zu bekommen.
Zunächst möchten Sie einen Runge-Kutta-Integrator erstellen, der ein System von Differentialgleichungen von einem Anfangsbedingungs-Zustandsvektor bis zu einem beliebigen Zeitpunkt numerisch integriert.
Zweitens möchten Sie die Bewegungsgleichungen für Ihr Fahrzeug ableiten. Ich würde damit beginnen, einfach eine unkontrollierte Masse mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit fallen zu lassen.
Drittens implementieren Sie Ihr bevorzugtes Steuerungssystem in das Gleichungssystem.
Verwenden Sie schließlich die Theorie der optimalen Steuerung, um eine Kostenfunktion Ihrer Wahl zu minimieren (möglicherweise den erforderlichen Treibstoff minimieren?).
Nein, das sind nicht unbedingt einfache Dinge zu tun. Aber wichtige Dinge sind es selten.
Kapitel 3 von Hicks' Text Introduction to Astrodynamic Reentry gibt einen Überblick über die Herleitung der Reentry-Bewegungsgleichungen. Der Text ist unter diesem Link zu finden und bietet auch eine Einführung in Wiedereintrittskontrollmethoden wie Aerobraking. Die translationalen Wiedereintrittsgleichungen sind stark gekoppelte, nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen, die numerische Routinen (z. B. RK-Integratoren) für Lösungen erfordern, sofern nicht einige sehr vereinfachende Annahmen getroffen werden (z. B. planarer Eintritt, konstante Querneigungswinkel usw.). Diese Referenz auf FAA.gov bietet auch eine Wiedereintrittsdiskussion unter Verwendung einer Kompromissformel zwischen kinetischer und potenzieller Energie, die auch eine gute Möglichkeit sein könnte, über Ihr Projekt nachzudenken.
Über das Leitsystem für die Apollo-Mondlandefähren ist eine Menge geschrieben worden; Die gleichen Prinzipien gelten für jede Landung mit Motorantrieb, obwohl Sie Ihrem Modell für Landungen auf der Erde atmosphärischen Luftwiderstand hinzufügen müssen.
Die Gleichungen, die auf dieser Seite unter „Powered Descent Guidance Theory“ gezeigt werden, sind der Schlüssel, um Positions- und Geschwindigkeitsdeltas gleichzeitig auf Null zu bringen (was Sie für eine präzise weiche Landung benötigen).
Auch die Notizen von Robert Bräunig zu seiner LM-Simulation sind möglicherweise nützlich.
Sie stehen nicht wirklich vor einem mathematischen Problem, das ist Physik. Mathematik ist nur eines der Werkzeuge, die benötigt werden. Sie benötigen auch Luftwiderstandsmodelle (Aerodynamik)
Und realistischerweise wird dies durch numerische Methoden gelöst. Sie berechnen die Zeitreihen x[t], y[t], vx[t], vy[t], Fx[t], Fy[t], m[t]für jeden Zeitschritt dt. Dies ersetzt die Berechnung der zugehörigen Differentialgleichungen und Integrale.
Ich würde es als numerische Simulation machen und würde einen Zeitschritt von einer Millisekunde oder weniger einplanen. Jeder moderne Prozessor sollte in der Lage sein, alle Gleichungen für jeden Schritt im schlimmsten Fall in wenigen Millisekunden auszuführen, sodass er in Echtzeit (oder meiner Vermutung nach viel schneller) ausgeführt werden kann.
Zuerst müssen Sie den Schub und den Widerstand ausführen, um die Kräfte zu erhalten, dann verwenden Sie die Masse in diesem Zeitschritt, um die Beschleunigung zu erhalten, verwenden Sie diese, um den Geschwindigkeitsvektor zu aktualisieren, und verwenden Sie diese dann, um den Positionsvektor zu aktualisieren.
Meine Vermutung ist, dass kugelförmige Erde ausgewaschen wird, da Sie sich außerhalb davon befinden und Sie sie im Zentrum als Punktmasse behandeln können.
Um also den Schub zu erhalten, müssen Sie den Basisschub des Triebwerks berechnen und dann, mit welchem Prozentsatz Sie in jedem Zeitschritt laufen. Der atmosphärische Luftwiderstand wird in der entgegengesetzten Richtung des Geschwindigkeitsvektors sein und wird im Grunde etwas Luftwiderstandskonstante multipliziert mit der projizierten Fläche multipliziert mit der Geschwindigkeit relativ zur Luft im Quadrat sein. (Ja, Widerstand ist ein V-Quadrat-Phänomen) Der Schwerkraftwiderstand wird eine Konstante sein. Daraus und der Masse bei der Zeitscheibe sollten Sie in der Lage sein, die Beschleunigung zu erhalten.
Beginnen Sie beim Start mit dem Ortsvektor und dem Geschwindigkeitsvektor von Null und führen Sie dann jeden Zeitschritt durch und prüfen Sie, ob die Ergebnisse plausibel aussehen.
NeugierigerInquirer
Erik
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Russell Borogove
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