Mathematische Beschreibung der Hubbard-Stratonovich-Transformation

Für ein interagierendes Quantensystem wird die Hubbard-Stratonovich-Transformation häufig verwendet, um Wechselwirkungsterme in der Aktion zu entkoppeln, indem ein komplexes (bosonisches) Skalarfeld eingeführt wird. Dieses skalare Feld koppelt wie ein Potential an die fermionischen Felder, so dass die Wirkung in den fermionischen Feldern quadratisch ist.

Beispielsweise bei einem supraleitenden System der Fock-Raum F reduziert auf W = H ⊕ H ⋆ , Wo H (der sogenannte Nambu-Raum) ist der Ein-Teilchen-Hilbert-Raum und H ⋆ den dualen Raum (siehe Lit. Symmetrieklassen ungeordneter Fermionen von P. Heinzner, A. Huckleberry, MR Zirnbauer).

Dies ist jedoch nur der fermionische Hilbert-Raum. Im gesamten Hilbertraum muss es auch einen bosonischen Anteil für das Skalarfeld geben. Aus meiner Sicht muss der volle Hilbert-Raum gleich sein:

H Fermion ⊕ H Boson

Wo H Fermion ist der Einzelteilchen-Hilbert-Raum für das fermionische Feld und H Boson der Hilbertraum für das bosonische Feld.

Meine Frage: Ist das soweit richtig? Dh dass die Hubbard-Stratonovich-Transformation geschrieben werden kann als

F Fermion → H Fermion ⊕ H Boson

Dann vielleicht eine sehr dumme Frage, aber wenn das stimmt, gibt es einen Bezug zu supersymmetrischen Systemen? Weil der Hilbertraum im supersymmetrischen System wie oben definiert ist oder nicht?

Antworten (1)

Der auf der Störungstheorie basierende Hilbert-Raum ist in Systemen mit Wechselwirkungen im Allgemeinen schlecht definiert. Genau genommen treten keine gebundenen Zustände auf, wenn wir die störungsfreien Eigenschaften der Theorie berücksichtigen. Ein Beispiel ist das Wasserstoffatom, das in der Störungstheorie der QED nicht existiert. In zwei Worten, der auf der Störungstheorie basierende Hilbert-Raum ist schematisch definiert als

H naiv ≃ H frei ,
Wo H frei enthält nur nicht-wechselwirkende freie Zustände, während der korrekte Hilbert-Raum ist
(1) H richtig ≃ H frei ⊕ H begrenzte Staaten
Das Cooper-Paar, das Ihr Skalar im Supraleiter ist, ist bereits darin enthalten ( 1 ) . Dies beantwortet insbesondere Ihre Frage.

Jetzt müssen wir die Bedeutung der HS-Transformation verstehen. Beachten Sie dazu, dass wir typischerweise die Struktur des Hilbert-Raums in der Konstruktion des Lagrange-Operators widerspiegeln. In der Störungstheorie wird es aus den Erzeugungs-Zerstörungs-Feldern konstruiert Ψ ^ ( X ) mit Operatoren A ^ † ( P ) . Sie sind so definiert, dass ohne Wechselwirkungen der Fock-Zustand vorliegt

⟨ 0 | Ψ ^ ( X )
hat keine Matrixelemente ungleich Null mit vielen Teilchenzuständen. Da aber der Hilbert-Raum als direkte Summe aller möglichen Fock-Zustände definiert ist, sind die beschränkten Zustände natürlich unsichtbar.

Es gibt den einfachen Weg, die Theorie zu modifizieren, um solche beschränkten Zustände einzubeziehen (dh sie sichtbar zu machen). Angenommen, unser beschränkter Zustand wird durch den Operator vernichtet Φ ^ ( Ψ ^ ) . Um den gebundenen Zustand einzuschließen Φ in der Theorie kann man den Lagrange-Term einbeziehen

(2) L ' = ( Ψ ^ − Φ ^ ( X ) ) 2 ,
was in der Tat der Hubbard-Stratonovich-Transformation sehr ähnlich ist.

Eine andere Situation tritt auf, wenn ein Vakuumdurchschnittswert ungleich Null vorliegt ⟨ vac | Φ ^ ( X ) | vac ⟩ . Dann darf man behandeln Φ ( X ) als klassisches externes Feld. Die Transformation erzeugt durch ( 2 ) ist somit die Abbildung von der Interaktionstheorie auf die freie Theorie mit Bewegung im äußeren Feld.

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