Phasengradient, Vektorpotential und Strom in einem Supraleiter

Für einen Supraleiter können wir eine Wellenfunktion schreiben$\psi$als Funktion einer Dichte$\rho(\vec{r})$von Partikeln als

$$\psi(\vec{r})=\rho^{1/2}(\vec{r})\,e^{i\theta} \, .$$

Dies führt zum Wahrscheinlichkeitsdichtestrom

$$\vec{J}=\frac{\hbar}{m} \left(\nabla\theta-\frac{q}{\hbar}\vec{A} \right)\rho \, ,$$

was, wie ich aus der Lektüre von Band 3, Kap. 24 der Feynman Lectures, kann als Wellenfunktion aller Kupferpaare und dem tatsächlichen Ladungsstrom im Material angesehen werden.

Ich habe Mühe zu verstehen, wie derselbe Ausdruck für den Strom zu verschiedenen Ergebnissen führt:

• Wenn wir die Flussquantisierung ableiten wollen, sollte die Stromgleichung in eine geschlossene Kurve um den magnetischen Fluss integriert werden, in der kein Strom fließt, wobei die Phasenänderung über der geschlossenen Kurve und der magnetische Fluss selbst durch das Integral von gleichgesetzt werden$\vec{A}$.
• Um die zweite Londoner Gleichung herzuleiten, müssen wir annehmen$\nabla\theta=0$. Wie können wir dies begründen, wenn man bedenkt, dass der Phasengradient für die Erklärung der Flussquantisierung von grundlegender Bedeutung ist? Wir brauchten$\nabla\theta$früher und jetzt ist es$=0$. Was ist in dieser Situation anders?
• Wenn wir davon ausgehen, dass die London-Gleichung im Fall der Flussquantisierung korrekt ist, sollte rund um jeden Wirbel (für die gesamte Masse) ein Strom vorhanden sein, bei dem ein Vektorpotential ungleich Null vorliegt. Warum ist diese Argumentation falsch?
• In einem Josephson-Kontakt hängt der Strom von der Phasendifferenz zwischen den beiden Supraleitern ab, was wir wieder brauchen$\nabla\theta$, jedoch sagen uns die Londoner Gleichungen, dass der Strom nur auf das Vektorpotential bezogen sein sollte$\vec{A}$. Wie können wir das verstehen?